フィボナッチ素数

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フィボナッチ素数(フィボナッチそすう)はフィボナッチ数である素数である。

フィボナッチ素数の最初のいくつかは以下のようになる(オンライン整数列大辞典の数列 A005478)。

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, 433494437, 2971215073, ....

判明しているフィボナッチ素数[編集]

数学上の未解決問題
フィボナッチ素数は無限に存在するか? Question mark2.svg

フィボナッチ素数が無限にあるかどうかは分かっていない。Fn が素数となる n の最初の33個は以下の通りである(オンライン整数列大辞典の数列 A001605)。

3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839.

以下の数に対する Fn も、素数である可能性が高いと考えられている。

n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721.[1]

n = 4 の場合を除いて、Fn がフィボナッチ素数となる n は素数である。しかし、n が素数でも Fn が素数になるとは限らない。

最初の10個の素数のうち、2 と 19 を除いた8個で Fp は素数となる。2 と 19 は F2 = 1, F19 = 4181 = 37 × 113 となる。しかし、p が大きくなるにつれてフィボナッチ素数の出現頻度は下がっていく。10000以下の 1229個の素数の中で、Fp が素数になるのは26個しかない([2])。

2009年11月現在、知られている最大のフィボナッチ素数は F81839 である。これは 17103桁の数である。この数は、2001年に David Broadhurst と Bouk de Water によって素数であることが証明された[3][4]。 2009年に Henri Lifchitz が発見した F1968721 は素数である可能性が高いとされている。この数字は 411439桁である[1]

これとは対照的な結果として、Nick MacKinnon は双子素数になる素数でフィボナッチ素数となるのは 3, 5, 13 の場合だけであることを証明している[5]

フィボナッチ数列の整除[編集]

素数番目のフィボナッチ数とそれより小さいフィボナッチ数は、1より大きい公約数を持たない。これは、以下の式から明らかである。

GCD(Fn, Fm) = FGCD(n,m).[6]

n が 3以上のとき、nm で割り切れるときのみ FnFm で割り切れる[7]

上の式において、m を素数 p とし、n をそれ以下の数とすると以下の式が成り立つ。

GCD(Fp, Fn) = FGCD(p,n) = F1 = 1


関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ a b PRP Top Records, Search for : F(n). Retrieved 2009-11-21.
  2. ^ A005478, A001605
  3. ^ Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water
  4. ^ Chris Caldwell, The Top Twenty: Fibonacci Number from the Prime Pages. Retrieved 2009-11-21.
  5. ^ N. MacKinnon, Problem 10844, Amer. Math. Monthly 109, (2002), p. 78
  6. ^ Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000
  7. ^ Wells 1986, p.65

外部リンク[編集]