階乗素数

階乗素数（かいじょうそすう、英: factorial prime）とは、階乗との差が 1 である（n!+1またはn!-1の形をした）素数のことである。なお、素数階乗 p# とは別の概念であることに注意しなければならない。

階乗素数が少ないことと、2 以上 n 以下の数 k について n! ± k が kで割りきれることから自然数の中でしばしば合成数が連続して存在することが説明できる。例えば、素数6227020777 = 13!-23 の次の素数は 6227020867 = 13!+67 であり、これらのあいだに 89個の合成数が並んでいる。しかし、この方法は素数の間の長いギャップを見つけるのにいつでも最適な方法だというわけではない。たとえば素数360653 と 360749 の間には95個の合成数が並んでいる。

2012年1月現在47個の階乗素数が知られており、その最も大きなものは 150209!+1 で、十進記数法で表記したときの桁数は71万2355桁にも及ぶ。

n!+1型の階乗素数

n が次の値のとき、n!+1 は素数となることが知られている。

0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320, 340, 399, 427, 872, 1477, 6380, 26951, 110059, 150209 （オンライン整数列大辞典の数列 A2981）

• 0!+1 = 1!+1 = 2
• 2!+1 = 3
• 3!+1 = 7
• 11!+1 = 39916801
• 27!+1 = 10888869450418352160768000001
• ……

n!-1型の階乗素数

n が次の値のとき、n!-1 は素数となることが知られている。

3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324, 379, 469, 546, 974, 1963, 3507, 3610, 6917, 21480, 34790, 94550, 103040 （A2982）

• 3!-1 = 5
• 4!-1 = 23
• 6!-1 = 719
• 7!-1 = 5039
• 12!-1 = 479001599
• 14!-1 = 87178291199
• ……

参考文献

• リチャード・ガイ著 Unsolved Problems in Number Theory, 3rd ed., Springer, 2004 ISBN 978-0387208602
  • （初版の訳）一松信訳『数論における未解決問題集』シュプリンガー・フェアラーク・東京、1994年 ISBN 978-4431705840
  • （第三版の訳）金光滋訳『数論「未解決問題」の事典』朝倉書店、2010年 ISBN 978-4254111293

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Factorial Prime" - MathWorld.（英語）
• The Prime Pages, The Prime Glossary: factorial prime
  • The Top Twenty: Factorial primes
• PrimeGrid, Factorial Prime Search