三つ子素数

三つ子素数（みつごそすう、prime triplet）もしくは三つ組素数とは、(p, p + 2, p + 6) または (p, p + 4, p + 6) の形をした、素数の三つ組のことである。

概要

三つ子素数は双子素数を含む。双子素数が「(p, p + 2) の形をした素数のペア」と定義されるのに対し、三つ子素数を「(p, p + 2, p + 4) の形をした素数の三つ組」と定義しないのは、その中に必ず 3 の倍数を含むからである。したがって、そのような三つ組は (3, 5, 7) しか存在しない。

三つ子素数を小さな方から並べると、次のようになる。

(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17), (13, 17, 19), (17, 19, 23), (37, 41, 43), (41, 43, 47), (67, 71, 73), (97, 101, 103), …

三つ組の中で最小の素数のみを並べると、

5, 7, 11, 13, 17, 37, 41, 67, 97, 101, 103, 107, 191, 193, 223, 227, 277, 307, 311, 347, 457, 461, 613, 641, 821, 823, 853, 857, 877, 881, 1087, …（オンライン整数列大辞典の数列 A7529）

である。このうち、(p, p + 2, p + 6) のタイプのものは

5, 11, 17, 41, 101, 107, 191, 227, 311, 347, 461, 641, 821, 857, 881, … (A22004)

であり、(p, p + 4, p + 6) のタイプのものは

7, 13, 37, 67, 97, 103, 193, 223, 277, 307, 457, 613, 823, 853, 877, 1087, … (A22005)

である。

予想

三つ子素数は無数に存在すると予想されている。ハーディとリトルウッドはより詳細な予想を立てており、それによると、x 未満の (p, p + 2, p + 6) の形の三つ子素数、(p, p + 4, p + 6) の形の三つ子素数のそれぞれの個数はおよそ

$\frac{9}{2} \prod_{p \ge 5} \frac{p^2(p-3)}{(p-1)^3} \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^3} \approx 2.858248596 \int_2^x \frac{dt}{(\log t)^3}$

であるらしい。100,000,000 未満の三つ子素数の個数は、それぞれ 55,600 と 55,556 であり、上記推定値は 55,490 である。

2009年1月の時点で知られている最大の三つ子素数は、2072644824759 × 2³³³³³ - 1, 2072644824759 × 2³³³³³ + 1, 2072644824759 × 2³³³³³ + 5 である。

参考文献

• Chris K. Caldwell 著、SOJIN 訳『素数大百科』共立出版、2004年 ISBN 978-4320017597

関連項目

• 双子素数
• 四つ子素数

外部リンク

• Weisstein, Eric W., "Prime Triplet" - MathWorld.（英語）