三角錐数

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n=5 のときの三角錐数である35個の。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。

三角錐数(さんかくすいすう、triangular pyramidal number)は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数(しめんたいすう、tetrahedral number)ともいう。

例: 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)

n番目の三角錐数 Tn は1からn番目の三角数 n(n + 1)/2 までのに等しいので

\begin{align} T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k(k+1)}{2} &= \frac{1}{2} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}\right)\\                            &= \frac{n(n+1)(n+2)}{6}\\ \end{align}

また組み合わせの記号を用いると T_n = {}_{n+2}{\rm C}_{3} \, となる。

三角錐数を小さい順に列記すると

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …(オンライン整数列大辞典の数列 A292

三角錐数のうち平方数でもある数は 1, 4 と 19600 (=1402) の3つのみである。また三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は1のみである。

2つの連続する三角錐数の和は四角錐数になる。

三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。

パスカルの三角形

パスカルの三角形における数列は左にある列から順に

モナド(単数)の数列 1,1,1,1,1,1,1,1,1,…,1,…

自然数の数列 1,2,3,4,5,6,7,8,9,…, {}_{n}{\rm C}_{1} \, ,…

三角数の数列 1,3,6,10,15,21,28,36,45,…, {}_{n+1}{\rm C}_{2} \, ,…

三角錐数の数列 1,4,10,20,35,56,84,120,165,…, {}_{n+2}{\rm C}_{3} \, ,…

となっている。上にある数列はその一つ下の数列の階差数列である。

三角錐数の逆数総和

\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}} &= 6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right)\\ &= 3 \bigg\{\left(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{\not1}{\not3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\not2}{\not3} + \frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4}\right) + \left(\frac{\not1}{\not3} - \frac{\color{Red}\not2}{\color{Red}\not4} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) + \cdots \bigg\}\\ &= \frac{3}{2}\end{align}

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