単数

環Rの元$a$が積に関して逆元を持つ時、つまり、 $a a^{-1} = a^{-1} a = 1$ となる $a$が存在する時、$a$を環Rの単数（たんすう、unit）という。

環論の用語を使わない場合、次のように表現できる。この2つの定義は等しい。

• 1の約数。
• 逆数が存在する数。

ただし、約数・逆数は、自然数論での定義を一般化し、次のように定義する。

• $a = bc$ であるとき、$b$ は $a$ の約数である（$c$ も $a$ の約数である）。
• $ab = 1$ であるとき、$b$ は $a$ の逆数である（$a$ も $b$ の逆数である）。

たとえば自然数の中では、1の約数は1のみで、逆数が存在するのも1のみである（自然数でない逆数は逆数と認めない）。したがって、自然数の単数は1のみである。

例

• 自然数の単数は、1。
• 整数の単数は、±1 (1, -1)。
• ガウス整数の単数は、±1, ±i。
• 四元整数の単数は、±1, ±i, ±j, ±k。
• 剰余環の単数は、法と素な全てである。特に、法が素数ならば全てである。
• 偶数の単数は、ない。
• 有理数・実数の単数は、0を除く全てである。

単数を使って定義される概念

• 同伴 - ある数に対し、それに単数をかけて得られる数を、元の数の同伴であるという。
• 素数 - ある単数以外の数の約数が、単数とその数自身の同伴のみのとき、その数を素数という。
• 互いに素 - 2つの整数の公約数が単数のみであるとき、それらは互いに素であるという。

例えば、

• 自然数については、同伴はその数自身のみである。素数、互いに素は、通常の意味である。
• 整数については、同伴はその数自身とその反数（-1倍）である。素数は通常の意味での素数と、それらの反数と、0である。互いに素は通常の意味である。