超過剰数

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超過剰数(ちょうかじょうすう、:superabundant number)は自然数で、m<n である全ての自然数mに対して

\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}

を満たす自然数nである。ただしσは約数関数である。例えば12は σ(12)/12 = (1+2+3+4+6+12)/12 = 7/3 であり、11以下のmで σ(m)/m > 7/3 を満たす数はないので12は超過剰数である。超過剰数は無数にあり、そのうち最小の数である1から小さい順に列記すると

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, …

超過剰数のうち1,2,4は不足数、6は完全数であり、12以上の超過剰数は全て過剰数である。超過剰数は高度合成数と関係が深く、特に最初の19個までの超過剰数と高度合成数は同じ数である。

性質[編集]

ポール・エルデシュLeonidas Alaogluはnが超過剰数ならば

n=\prod_{i=2}^pi^{a_i}
a_2\geq a_3\geq\dots\geq a_p

を満たすことを証明した。nが4と36のときを除けば ap=1 である。つまり超過剰数のうち平方数は4と36のみである。

外部リンク[編集]

関連項目[編集]