サブライム数

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サブライム数(-すう、:sublime number)は自然数で、約数の個数が完全数であり、なおかつ全ての約数の和が別の完全数になるような数である。例えば12は約数が 1, 2, 3, 4, 6, 12 と6個あり、それらの和は 1+2+3+4+6+12=28 となり、約数の個数および和がともに完全数となるので12はサブライム数である。

最小のサブライム数は12であり、他には6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264が知られているだけである。この数はKevin Brownによって計算され、2126×(261-1)×(231-1)×(219-1)×(27-1)×(25-1)×(23-1) という形に素因数分解される。

約数の個数は (126+1)×26 = (27-1)×26 = 8128
約数の和は (2126+1-1)×261+31+19+7+5+3 = (2127-1)×2126

であり、いずれも完全数となる。ここで (2n-1) で表されている数は全てメルセンヌ素数である。2番目のサブライム数を2の累乗とメルセンヌ素数の積の形で表示したときに現れるそれぞれの指数部は 126=61+31+19+7+5+3 という関係になっており、126はメルセンヌ素数である127より1小さい。このような性質は12が 22×(22-1) と素因数分解されることと共通している。

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