数論的関数

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数論的関数(すうろんてきかんすう、: arithmetic(al) function)とは、定義域が正整数である複素数を値に持つ関数のことである。

複素数の無限数列 \{ a_n \}_{n\ge 1}n\mapsto a_n という対応で、数論的関数とみなすことができる。


素因数分解に関連する関数[編集]

正整数 n に対して


n = \prod_{p;\operatorname{prime}} p^{\nu_p(n)}\ \ \ \ \ (\nu_p(n)\ge 1)

と素因数分解する。

この項では、a(n)\scriptstyle\{ a(p^k) | k\ge 0,\ p;\operatorname{prime}\} によって得られる数論的関数について述べる。


加法的関数[編集]

互いに素である正整数 mn に対して、a(mn) = a(m)+a(n) が成立するとき、加法的関数 (additive function)という。

つまり、


a(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}} a(p^{\nu_p(n)})

が成立する関数である。

特に、任意の正整数 mn に対して、f(mn) = f(m)+f(n) が成立するとき、完全加法的関数 (completely additive function)という。つまり、完全加法的関数とは


a(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}} \nu_p(n)a(p)

が成立する数論的関数である。


[編集]

  • 対数関数: \log n
  • n の相異なる素因数の個数を表す \omega(n)
    • \omega(n) = \#\{ p| \nu_p(n)\ne 0 \}
  • n の重複度を数えた素因数の個数を表す \Omega(n)
    • \Omega(n) = \sum_{p;\operatorname{prime}}\nu_p(n)
  • 素数 p に対して、n を割る最大指数を表す、\nu_p(n)


乗法的関数[編集]

互いに素である正整数 mn に対して、f(mn) = f(m)f(n) が成立するとき、乗法的関数 (multiplicative function)という。

つまり、


a(n) = \prod_{p;\operatorname{prime}} a(p^{\nu_p(n)})

が成立する関数である。

特に、任意の正整数 mn に対して、f(mn) = f(m)f(n) が成立するとき、完全乗法的関数 (completely multiplicative function)という。つまり、完全乗法的関数とは


a(n) = \prod_{p;\operatorname{prime}} a(p)^{\nu_p(n)}

が成立する数論的関数である。


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c_q(n) = \!\!\sum_{1\le h\le q,\ (h, q) = 1}\!\!\!\!\!\!\!\!\! e^{2\pi i hn/q}

q進展開に関連する関数[編集]

q を 2以上の正整数とする。

このとき、任意の正整数 n に対して


n = \sum_{j\ge 0}b_j(n)q^j\ \ \ \ \ (b_j(n) = 0,\ 1,\ldots,\ q-1)

q 進展開する。


この項では、a(n)\scriptstyle\{ a(bq^j) | j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1\} によって得られる数論的関数について述べる。


q加法的関数[編集]

\scriptstyle a(n)=\sum_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j) を満たすとき、q加法的関数 (q-additive function)という。

特に、q加法的関数 a(n)\scriptstyle a(bq^j)=a(b) \scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1) を満たすとき、強q加法的関数 (strongly q-additive function)という。


[編集]

  • sum of digits 関数 \textstyle s_q(n) = \sum_{j\ge 0}b_j(n)
  • digit counting 関数 e_q(b;n) = \#\{ j | b_j(n) = b \} 但し、b\scriptstyle 1,2,\ldots,q-1 のいずれか。


q乗法的関数[編集]

\scriptstyle a(n)=\prod_{j\ge 0}a(b_j(n)q^j) を満たすとき、q乗法的関数 (q-multiplicative function)という。

特に、q乗法的関数 a(n)\scriptstyle a(bq^j)=a(b) \scriptstyle(j\ge 0,\ b = 0,\ 1,\ldots,\ q-1) を満たすとき、強q乗法的関数 (strongly q-multiplicative function)という。


[編集]

  • トゥエ=モース数列 a(n) = (-1)^{e_2(1;n)}
  • product of digits 関数 \textstyle p_q(n) = \prod_{j=0}^rb_j(n)\ \ \ \ \ (b_r(n)\ne 0,\ b_j(n) = 0\  (j>r))


その他の数論的関数[編集]

(1) 素数に関係する関数

  • n 以下の素数の個数を与える \pi(n)
  • フォン・マンゴルト関数: \Lambda(n)
    • \Lambda(n) = \begin{cases}\log p & (n=p^m,\ m\ge 1,\ p;\operatorname{prime}) \\ 0 & (n\ne p^m) \end{cases}
  • \textstyle\vartheta(n) = \sum_{p\le n,\ p;\operatorname{prime}}\log p
  • \textstyle\psi(n) = \sum_{p^m\le n,\ p;\operatorname{prime}}\log p


(2) 数の表現・分割

  • n を2つの平方数の和で表す表し方の数を与える r_2(n)
  • n を正整数の和で表す表し方の数を与える p(n)
  • ウェアリングの問題
    • 全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 g(k)
    • 十分大きな全ての正整数が s 個の k 乗数の和で表される様な s の最小値 G(k)


性質[編集]

代数的性質[編集]

数論的関数 \scriptstyle f(n),\ g(n) に対して、ディリクレ積 f*g


(f*g)(n) = \!\!\!\sum_{d\ge 1,\ d|n}\!\!\!f(d)g(n/d)

と定めると、f*g は数論的関数となる。従って、数論的関数全体集合は多元環となる。


乗法的関数 \scriptstyle f(n),\ g(n) に対して、ディリクレ積 f*g で得られた数論的関数は乗法的関数となる。


数論的関数 f(n) が、ある正数 C と、数論的関数 g(n) が存在して、\scriptstyle f(n)= C^{g(n)} と表されるとする。すると、f(n) が(完全)乗法的関数である必要十分条件は、g(n) は(完全)加法的関数である。


位数[編集]

(1) 最大位数

数論的関数 a(n) に対して、ある単純な形をした n の関数 \psi(n) が存在して


\limsup_{n\to\infty}\frac{a(n)}{\psi(n)} = 1

が成立するとき、a(n)最大位数\psi(n) であるという。


(2) 平均位数

数論的関数 a(n) に対して、ある単純な形をした n の関数 \psi(n) が存在して


\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n a(k)}{\sum_{k=1}^n \psi(k)} = 1

が成立するとき、a(n)平均位数\psi(n) であるという。

従って、a(n) は、だいたい \psi(n) であると思われるが、数論的関数の多くは、値の振る舞いが複雑であり、a(n) がほぼ \psi(n) である様な n は正整数のなかで少数であることも珍しいことではない。


(3) 正規位数

任意の正数 ϵ とほとんど全て[1]の正整数 n に対して


(1-\varepsilon)\psi(n) < a(n) < (1+\varepsilon)\psi(n)
\!

が成立するとき、a(n)正規位数\psi(n) であるという。


平均位数と正規位数は、常に存在する訳ではない。 平均位数は持つが正規位数はもたない、その逆で、平均位数は持たないが正規位数を持つ数論的関数が存在する。


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(1) 約数関数 d(n)

最大位数は、


2^{\log n/\log\log n}
\!

であり、平均位数は \log n である。 さらに \log d(n) の正規位数は log2\log\log n である。 従って、任意の正数 ε とほとんど全ての正整数 n に対して


(\log n)^{(1-\epsilon)\log 2} < d(n) < (\log n)^{(1+\epsilon)\log 2}
\!

が成立する。

つまり、ほとんど全ての正整数に対して、d(n) の値は、平均位数よりも小さい。


(2) 約数和関数 \sigma(n)

最大位数は


e^{\gamma}n\log\log n
\!

であり、平均位数は \pi^2n/6 である。


(3) オイラー関数 \varphi(n)

最大位数は n-1 であり、平均位数は 6n/\pi^2 である。


(4) n の相異なる素因数の個数を表す関数 \omega(n)

平均位数および正規位数は共に \log\log n である.


(5) n の重複を込めた素因数の個数を表す関数 \Omega(n)

平均位数および正規位数は共に \log\log n である.


(6) 素数の個数を表す \pi(n)

正規位数は、n/\log n である。


注釈[編集]

  1. ^ 条件を満たさない n 以下の正整数の個数を n で割った値が 0 に収束するという意味。

参考文献[編集]

  • ハーディ, G.H.、ライト, E.M. 『数論入門 I, II』 示野 信一・矢神 毅訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2001年
  • Tattersall, J. J. 『初等整数論9章 [第2版]』 小松 尚夫訳、森北出版、東京、2008年
  • H. Delange (1972). “Sur les fonctions q-additive ou q-multiplicatives”. Acta. Arith. (21): 285-298. 


関連項目[編集]