ラグランジュ力学

古典力学
${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動の第2法則
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ラグランジュ力学（英語：Lagrangian mechanics）は、一般化座標とその微分を基本変数として記述された古典力学である。フランスの物理学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュが創始した。後のハミルトン力学と同様にニュートン力学を再定式化した解析力学の一形式である。

概要

ラグランジュ形式の解析力学は最小作用の原理によって構成される。 元々はニュートン的な力学の分野において成立したが、電磁気学や相対性理論でも応用することが出来て、これらの分野における基礎方程式（マクスウェル方程式、アインシュタイン方程式）を導き出すことが出来る。 また、量子力学においても、経路積分の方法は最小作用の原理に関連して考え出された方法である。

ラグランジュ形式では一般化座標によって記述されており、変数の取り方が任意である。 ニュートンの運動方程式はベクトルの方程式であり、デカルト座標以外では煩雑な座標変換が必要となるが、ラグランジュ形式においてはラグランジアンはスカラーであり座標変換が簡単である。

実際の計算上でも、例えば長さが一定の振り子などで円周上を運動する場合には、平面内の運動なのでニュートンの運動方程式では2つの方向の2変数が必要となるが、ラグランジュ形式では一般化座標として角度を選ぶことにより1変数の方程式が得られる。 もちろんニュートンの運動方程式はラグランジュ形式と等価なので適当な変換により同じ式が得られるが、ラグランジュ形式では直接得られる点で便利である。

定式化

一般化座標 ${\boldsymbol {q}}(t)=(q_{1}(t),\ldots )$ として、作用積分

$S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{t_{I}}^{t_{F}}L({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t),t)\,dt$

を考える(上付きのドットは, 時刻tに関する微分（偏微分ではない）を意味する)。 一般化座標とその微分（一般化速度）、及び時間の関数として書かれる作用積分の被積分関数

$L({\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t),t)$

はラグランジアンと呼ばれ、系を特徴付ける量である。

一般化座標は実際には起こらない運動の値も取りうるが、現実の運動は最小作用の原理に従い、作用積分が最小値をとるように運動する。

作用の停留条件 $\delta S[{\boldsymbol {q}}]=0$ から、ラグランジュの運動方程式（オイラー＝ラグランジュ方程式）

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

が得られる。 これはニュートンの運動方程式と同等である。

ラグランジアン

ラグランジアン（Lagrangian）は物理的な力学系の動力学を記述するために用いられる関数である。ラグランジュ関数とも呼ばれる。

ラグランジアン $L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)$ は一般に運動エネルギー T とポテンシャル V の差

$L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)=T-V$

の形をしている。 ラグランジアンはエネルギーの次元を持つスカラーであるが、観測可能な物理量ではなく、その値自体に物理的な意味があるわけではない。 また、座標と時間の任意関数 $f({\boldsymbol {q}},t)$ の時間による微分を加えた

$L'({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)=L({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}},t)+{\frac {d}{dt}}f({\boldsymbol {q}},t)$

の形でも全く同じ力学系を表す。

運動量

一般化運動量はラグランジアンの一般化速度による微分

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

によって定義される。 これは併進対称性から導かれる保存量である。

一般化運動量を用いると、ラグランジュの運動方程式は

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

となる。ニュートンの運動方程式との比較から、右辺は一般化された力と見ることも出来る。

ハミルトン形式では一般化座標と一般化運動量によって記述されている。 一般化運動量は正準共役量であり、共役運動量や正準運動量と呼ばれることもある。

ハミルトン形式との関係

ハミルトン形式とラグランジュ形式はルジャンドル変換を通して等価である。 但し、ラグランジアンが退化している場合は、ルジャンドル変換が微分同相写像ではなくなり、ラグランジュ系からハミルトン系へ移行することができなくなる。この退化している場合の処方としてディラックの拘束理論が知られている。

ラグランジュ形式による場の理論

特に相対論的な場の理論の場合では、ラグランジュ形式から出発するのが一般的である。その方が相対論的不変性などの対称性が見やすいからである。

力学変数としては場 $\phi (x)$ を考える。 作用積分は

$S[\phi ]=\int d^{d}x\,{\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)$

で、被積分関数

${\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,x)$

は特にラグランジアン密度と呼ばれる。 ラグランジュの運動方程式は

$\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}=0$

となる。

具体例

相対論的な粒子系

相対論的な系では、時間は位置と共に4元ベクトルとなるので、時間は力学変数となり、積分の変数ではなくなる。パラメータを λ とし、

$q=q_{i}^{\mu }(\lambda )=(ct_{i}(\lambda ),{\boldsymbol {x}}_{i}(\lambda )),~{\dot {q}}={\frac {dq}{d\lambda }}$

とする。μ は時空の添え字で i は粒子を区別する添え字である。 自由粒子系を考えると、作用積分は

$S[q]=\int L(q,{\dot {q}},\lambda )\,d\lambda =-\int \sum _{i}\left(m_{i}c{\sqrt {\eta _{\mu \nu }\,{\dot {q}}_{i}^{\mu }{\dot {q}}_{i}^{\nu }}}\right)\,d\lambda$

である。η は平坦な時空の計量で $\eta =\mathrm {diag} (1,-1,\ldots ,-1)$ である。 平方根の中が正である為に、作用積分の段階で運動は時間的なものに限定されている。

ラグランジュの運動方程式は

${\frac {\delta S[q]}{\delta q_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0$

となる。 ここで、一般化運動量は

$p_{i\mu }(\lambda )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}^{\mu }}}=-m_{i}c{\frac {\eta _{\mu \nu }\,{\dot {q}}_{i}^{\nu }(\lambda )}{\sqrt {\eta _{\rho \sigma }{\dot {q}}_{i}^{\rho }{\dot {q}}_{i}^{\sigma }}}}$

である。 固有時間 $c^{2}d\tau _{i}^{2}=\eta _{\rho \sigma }dq_{i}^{\rho }dq_{i}^{\sigma }$ を使うと、

$p_{i\mu }(\lambda )=-m_{i}\eta _{\mu \nu }{\frac {dq_{i}^{\nu }}{d\tau _{i}}}=\left(-m_{i}c{\frac {dt_{i}}{d\tau _{i}}},m_{i}{\frac {d{\boldsymbol {x}}_{i}}{d\tau _{i}}}\right)$

となる。

補助場の導入

この作用は平方根の中に微分を含む形のため扱いが困難である。 補助場を導入して別の形に書くことが出来る。

$S[q,\gamma ]=-{\frac {1}{2}}\int \sum _{i}\left({\frac {1}{\gamma _{i}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {q}}_{i}^{\mu }{\dot {q}}_{i}^{\nu }+\gamma _{i}m_{i}^{2}c^{2}\right)d\lambda$

ここで補助場 $\gamma _{i}(\lambda )$ の微分は含まれておらず、非物理的な量である。 この作用積分は一般化速度の二次形式で書かれている。作用積分の段階では運動は時間的なものに限定されない。

補助場の運動方程式は

${\frac {\delta S[q,\gamma ]}{\delta \gamma _{i}(\lambda )}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\gamma _{i}^{2}}}\eta _{\mu \nu }{\dot {q}}_{i}^{\mu }{\dot {q}}_{i}^{\nu }-m_{i}^{2}c^{2}\right)=0$

となる。m が 0 でないときには

$\gamma _{i}^{2}={\frac {\eta _{\mu \nu }{\dot {q}}_{i}^{\mu }{\dot {q}}_{i}^{\nu }}{m_{i}^{2}c^{2}}}$

となって上の作用積分と等価であることが確認される。 q の運動方程式は

${\frac {\delta S[q,\gamma ]}{\delta q_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }(\lambda )=0$

であり、一般化運動量は

$p_{i\mu }(\lambda )=-{\frac {1}{\gamma _{i}(\lambda )}}\eta _{\mu \nu }{\dot {q}}_{i}^{\nu }(\lambda )$

である。

電磁気学

電磁場の力学変数は電磁ポテンシャル A である。 マクスウェルの方程式は

$S[q,A]=S_{q}[q]+S_{A}[A]+S_{\mathrm {int} }[q,A]$

の形の作用積分により導かれる。 S_q は物質の項、S_A は電磁場の項、S_int は電磁場と物質の相互作用項であり、電磁場の項は

$S_{A}[A]=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\int F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }d^{4}x$

と書かれる。ここで F は電磁場テンソルである。

詳細は「電磁ポテンシャル#ラグランジュ形式」を参照

電磁場中の粒子系

物質場として相対論的な粒子系を考え、相互作用項

$S_{\mathrm {int} }[q,A]=\int d\lambda \,\int d^{4}x\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(q,{\dot {q}},\lambda ;A,\partial A,x)$

${\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(q,{\dot {q}},\lambda ;A,\partial A,x)=-\sum _{i}\left(e_{i}{\dot {q}}_{i}^{\mu }(\lambda )\delta ^{4}(x-q_{i}(\lambda ))\right)A_{\mu }(x)$

を考える。

このとき、物質 q に関する運動方程式は

${\frac {\delta S_{q}[q]}{\delta q_{i}^{\mu }(\lambda )}}+{\frac {\delta S_{\mathrm {int} }[q,A]}{\delta q_{i}^{\mu }(\lambda )}}=-{\dot {p}}_{i\mu }+e_{i}{\dot {q}}_{i}^{\nu }F_{\nu \mu }(q_{i})=0$

となり、ローレンツ力を再現する。

また、4元電流密度は

$j^{\mu }(x)=-{\frac {\delta S_{\mathrm {int} }[q,A]}{\delta A_{\mu }(x)}}=\int \sum _{i}\left(e_{i}{\dot {q}}_{i}^{\mu }(\lambda )\delta ^{4}(x-q_{i}(\lambda ))\right)\,d\lambda$

となる。

一般相対性理論

一般相対性理論においては、平坦な時空の計量は曲がった時空の計量 g に置き換えられ、これが力学変数となる。 作用積分は

$S[g,q]=S_{q}[g,q]+S_{g}[g]$

と書かれる。 重力場の項は

$S_{g}[g]={\frac {1}{2\kappa }}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$

である。 ここで R はスカラー曲率である。 アインシュタイン方程式は時空の計量 g の運動方程式として導かれる。

詳細は「アインシュタイン・ヒルベルト作用」を参照

関連記事

• オイラー＝ラグランジュ方程式
• 最小作用の原理
• 解析力学 - ハミルトン力学
• ネーターの定理

参考文献

• L.D.ランダウ、E.M.リフシッツ『力学』東京図書出版〈理論物理学教程〉、1974年。ISBN 4-489-01160-1。 
• L.D.ランダウ、E.M.リフシッツ『場の古典論』東京図書出版〈理論物理学教程〉、1978年。ISBN 4-489-01161-X。 
• 清水明『新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―』サイエンス社、2004年。ISBN 4-7819-1062-9。 
• 江沢洋『解析力学』培風館〈新物理学シリーズ〉、2007年。ISBN 978-4-563-02436-9。 

外部リンク

• Lagrangian mechanics （英語） - スカラーペディア百科事典「ラグランジュ力学」の項目。