「五乗数」の版間の差分

削除された内容追加された内容

インライン

2020年4月10日 (金) 17:41時点における版

算術演算および代数演算において、五乗数（ごじょうすう、英語: fifth power）とは、ある数値 n の5乗となる数値、すなわち、底（英語版）を n 、冪指数を 5 とする冪乗( n⁵ = n × n × n × n × n )である。

数値 n の5乗は、n の4乗に n 自体を掛けたものに等しく、また、n の3乗に n の2乗を掛けたものに等しい。

自然数の5乗を小さい順に列記すると、次のようになる。

0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ... オンライン整数列大辞典の数列 A000584

性質

10を底とする整数 n の5乗の最小の桁の値は、n の最小の桁の値と同じである。

五乗数の列の第4階差数列は公差 $120$ の等差数列であり、第5階差数列は定数列 $120$ である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。

アーベル–ルフィニの定理によれば、未知数の5乗を最大の冪乗とする代数方程式の解に対する一般的な代数式（冪根で表される式）は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。五次方程式、六次方程式、七次方程式を参照。

5乗は、k − 1 個の k 乗数の和を1個の k 乗数で表すことができる冪指数 k のうちの1つで（もう1つは4乗）、オイラー予想に反例を与える。具体的には、以下の例がある。

275 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5

(Lander & Parkin, 1966)^[1]

脚注

^ Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.

参考文献

[1] Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.

[1]

@@ 9行目: / 9行目: @@
 ==性質==
 を底とする整数 ''n'' の5乗の最小の桁の値は、''n'' の最小の桁の値と同じである。
+五乗数の列の第4[[階差数列]]は公差 {{math|120}} の[[等差数列]]であり、第5階差数列は定数列 {{math|120}}である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。
 [[アーベル–ルフィニの定理]]によれば、[[未知数]]の5乗を最大の冪乗とする[[代数方程式]]の解に対する一般的な代数式（[[冪根]]で表される式）は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。[[五次方程式]]、{{仮リンク|六次方程式|en|sextic equation}}、{{仮リンク|七次方程式|en|septic equation}}を参照。

2020年4月10日 (金) 17:41時点における版

性質

関連項目

脚注

参考文献