アーベル–ルフィニの定理

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アーベル–ルフィニの定理(アーベル–ルフィニのていり、: Abel–Ruffini theorem)は、五次以上の代数方程式には解の公式が存在しない、と主張する定理である。より正確には、5以上の任意の整数 n に対して、一般の n 次方程式を代数的に解く方法は存在しない、という定理である。

概要[編集]

方程式を「代数的に解く」とは、与えられた方程式の係数から出発して四則演算冪根をとる操作を有限回繰り返し、方程式の根を表示することをいう。単に「冪根によって解く」ともいう。このようにして得られる表示可能な数の全体は、係数に適当な冪根を添加して拡大したものとなるが、もし方程式に代数的な解の公式が存在するなら、根がそのような拡大体のどこかに含まれているはずである。従って、「代数方程式が代数的に解ける」、すなわち「代数方程式の根が冪根による表示をもつ」とは、次のように定義される。

方程式の係数を含むに適当な冪根を添加して体を拡大していき、その中に根を含むようにできる。

アーベル–ルフィニの定理からは、五次以上の一般代数方程式ではこのような拡大が十分に行えないことが結論される。

代数学の基本定理が示す通り、n 次方程式は複素数の範囲で本質的に n 個の根を持つが、それを四則演算と冪根の有限回の繰り返しによって表示できるとは限らないことになる。代数的に解けない場合についてはこの定理は触れていない。例えば三次方程式のビエタの解のように三角関数によって表示できたとしても代数的に解けたとはいわない。また五次以上でも特定の条件付き方程式ならば解く事ができ、このようなものの一部はアーベル方程式と呼ばれる。もっとも単純なアーベル方程式は1の冪根を根にもつ xn = 1 であり、これが代数的に可解であることはカール・フリードリヒ・ガウスにより証明された。

一時この定理は完全な形で提出したニールス・アーベルにその功績が帰されていたが、現在ではパオロ・ルフィニの貢献を入れてアーベル–ルフィニの定理とする表記が多い。これはアーベルの業績になる定理が多く、単に「アーベルの定理」というと区別しにくいという事情も関係している。

歴史[編集]

Paolo Ruffini, Teoria generale delle equazioni, 1799

17世紀前半からアルベール・ジラール英語: Albert Girardらによって主張されてきた代数学の基本定理により、5次以上の方程式にも次数と等しいだけの根があること自体は明らかであったので、五次方程式は「解けるに違いないが非常に難しい問題」と捉えられていた。

1770年頃、ジョゼフ=ルイ・ラグランジュヴァンデルモンド英語: Alexandre-Théophile Vandermondeは 4次以下の代数方程式の解法について置換を用いて(独立に)考察を行い、それらが代数的に解けた原因を与えた。

同様の考察を五次方程式に適用すると、より高次の方程式を解かねばならず破綻してしまうため、それ以上には進まなかった。 しかし、これらの研究を源とする代数的可解性の原則やラグランジュ分解式などが、その後の代数的方程式論の発展に繋がる突破口に結びついた。

カール・フリードリヒ・ガウスは、五次方程式の代数的な解法が不可能問題であることに確信を持っていた。数学的な根拠は出さなかったものの、学位論文でそのことに触れた他、『整数論』(1801年) の中でも「不可能なのはほぼ確実」と断定している。また、『整数論』において円分方程式 は次数の低い円分方程式から逐次的に解ける事を示し、代数的に可解である事を証明した。これは、一般的には代数方程式を代数的に解く事は不可能である一方で、代数的に可解な代数方程式にはどのようなものがあるかを個別に調べるという方向の研究である。

五次方程式の解法の不可能性について、本質的な仕事はパオロ・ルフィニによるものと考えられている。ルフィニはラグランジュの考えた置換の理論を引き継いで1799年に『方程式の一般理論』と題した 2本の論文を出版したものの、論文は長くて分かりづらい上に欠陥があった。数学者達からの反論に対し、ルフィニは友人のピエトロ・アバティ・マレスコッティ英語: Pietro Abbati Marescottiの協力も得て欠陥を取り除いたり簡略化したりして1813年まで 6 種類の証明を出版した。ラグランジュからは認められなかったが、オーギュスタン=ルイ・コーシーはルフィニの証明を絶賛し、1815年に置換論として発展させた。ここではコーシーの記法を導入し、簡略化にも成功している。

1821年にアーベルは五次方程式の解法を発見したが、コペンハーゲン大学の数学者デーエンから具体例を聞かれて間違いに気付き、ラグランジュやコーシーの論文を熱心に読んで不可能性の証明へと向かう。しかし、地理的な問題もあり大数学者ではなかったルフィニの論文は存在すら知らなかった。

1823年の末に証明は完成し、翌1824年、最初の論文「5次の一般方程式の解法の不可能性を証明する代数方程式についての論文」(Abel, “Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré”) を自費出版した。経費節約のため簡潔にして 6ページしかなかったこともあり、誰からも理解されなかった。さらに1826年には、詳細に書いた「パリ論文」と呼ばれる論文「4次より高い次数の代数方程式を一般には解くことが不可能であることの証明」(Abel, “Dèmonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré”) をパリ科学アカデミーに提出した上、クレレにドイツ語に翻訳してもらいクレレ誌の創刊号に20ページほどの論文として載せてもらっている。この年、アーベルはパリに留学した際にルフィニの論文の存在を知り、その内容について「代数的可解性の原則」と呼ばれる根本的な性質の証明が足りない事に気付いた[注 1]


一方ガロアはアーベルとは独立にほぼ同じ経路を辿っていた。アーベルの仕事については知らなかったが、後に恩師に薦められてクレレ誌に載ったアーベルの論文を読み、高く評価した。コーシーが自分の時と同じく、アーベルの論文も紛失したことに憤慨する手紙が残されている。

どちらの証明も、本質的にはガロア群の構造に触れることで不可能性を証明しているが、アーベル、ルフィニらには「」という意識がまだ存在しておらず、技巧的な証明に留まっていた。その後、アーベルやガロアはガウスの円分方程式論のように、どのような方程式なら代数的に可解なのかという問題に取り組んだ結果、ガロアは群の概念に到達しガロア理論を構築した。

年表[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ ルフィニの欠陥を現代的に書けば次のような事になる。
    上記の通り、公式が存在するかどうかは、係数体を起点に零点を記述できる体までのベキ根拡大列が作れるかどうかに帰着する。ルフィニはここで、零点からなる有理関数体への拡大列がない事を証明した。
    問題は、零点を含む体の中で最小のものだという事である。例えば、 の代わりに を含む のようなものに対して、 を経由せず一足飛びに を得るような拡大の可能性は考慮されていない。この点を厳密に論じたのがアーベルで、ルフィニの証明が結果的には十分だった事が示された。

出典[編集]

参考文献[編集]

  • アーベルガロア群と代数方程式守屋美賀雄 訳・解説、共立出版〈現代数学の系譜 11〉、1975年4月20日。ISBN 4-320-01164-3 - 1824年および1826年の原論文の翻訳とその解説。
  • 高木貞治代数学講義共立出版、1965年11月、改訂新版。ISBN 4-320-01000-0
  • 竹内端三 『群論』 共立出版、1933年10月。NDLJP:1063306
  • 津田丈夫不可能の証明』 共立出版、2011年4月(原著1985年6月)、復刊。ISBN 978-4-320-01967-6 - 2011年に復刊。
  • 原田耕一郎群の発見岩波書店〈数学,この大きな流れ〉、2001年11月。ISBN 4-00-006791-5
  • Pesic, Peter (February 27, 2004), Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability (Paperback ed.), The MIT Press, ISBN 0-262-66182-9 
  • 渡辺秀雄 『方程式論』 共立社〈輓近高等數學講座 第4〉、1929年、151-169頁。 - 第8章「五次以上ノ一般ナル方程式ノ代數的解法ノ不能」参照。

外部リンク[編集]