剛体の力学

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古典力学
歴史

剛体の力学英語:rigid body dynamics)とは、剛体の運動を扱う力学の一分野である。

剛体(ごうたい、rigid body)とは、質点系(質点の集まりとしての物体)のうちで質点相互の位置が変わらないもののことを言う。 言い換えれば外部(内部)からのに対して変形しない物体のことである。これは理想的、仮想的なものであり、 実在する物体には完全な意味での剛体は存在しない。どんな物体でも力を加えられれば少なからず変形する。力学には、変形する具合によって物体を分類し、そのカテゴリーの中で発展する趣旨の学問がある(→連続体力学)。たとえば、気体液体は比較的自由に変形され、これを研究するのが流体力学である。固体とか結晶体とか呼ばれる物質には、弾性変形を起こす弾性体塑性変形を起こす塑性体に大きく分類される。これらと違い、剛体は非常に理想化された仮想物質であるが、強力な力を加えない限り、普通の固体は剛体として扱うことができる。 こまの運動などは剛体の力学で扱われるテーマの一つである。

剛体の動きは、剛体の代表点(重心や固定点)と、その点のまわりの回転で記述できる。

剛体の動力学は、剛体の質量が重心に集中したものとしたときの並進運動に関するニュートンの運動方程式と、重心のまわりの回転に関するオイラーの運動方程式で記述できる。

並進運動、回転運動[編集]

剛体の運動三次元空間では6自由度であり、重心等適切な代表点を決め、代表点の運動(移動)三次元とその代表点を中心とする回転運動(転向)三次元に分解して扱う事ができる。

剛体は連続系として積分形式を用いる事が多いが、ここでは、実際の物体原子で構成されているのと同様に、多数の質点のような粒子から成る離散系として説明する。

並進運動
代表点の運動を剛体の並進運動(併進運動)という。剛体の質量M、代表点の位置を\vec{s}、各部に働く外力\vec F_i、剛体に働く全外力を\vec{F}とすると、代表点についてのニュートンの運動方程式(並進の運動方程式)は
 M \frac{d^2\vec s}{dt^2} = \vec{F} \,\,\,\,\, ( \vec{F} = \sum \vec F_i )
例を挙げると、投げられた棒の運動は、重心の軌跡が放物線を描く(→放物線#物理学的な導出)。並進運動は重心といった代表点の運動なので記事質点#質点系の力学に詳しい。
回転運動
代表点を中心とした回転の角運動量\vec{L}、外力による力のモーメントの総和を\vec{N}とすると、剛体の回転運動のオイラーの運動方程式(回転の運動方程式)は
 \frac{d\vec L}{dt} = \vec{N} \,\,\,\,\, ( \vec{N} = \sum(\vec{r}_i\times\vec{F}_i) )
例を挙げると、投げられた棒の運動は、重心の放物運動と、重心を中心にしての回転に分けられる。

剛体の運動は上の2つの運動方程式を満たす。自転しながら公転している場合等、並進運動が回転運動の場合もある。その場合は並進運動も回転運動専用の式の方が適している。

剛体に働く力の合力が0で力がつり合っているとき、並進と回転の2つの運動方程式の右辺が0になり、剛体は等速回転しながら等速直線運動をしている。(それぞれ静止を含む。)

下の表について説明する。左半分は、並進運動と回転運動で扱われる運動量について比較しているが、同じ段にある物理量は相当すると考えると解り易い。その例が表の右半分である。それぞれ、一方の関係式の記号に、対応する記号を代入するともう一方の関係式になることが判る。

並進運動 SI単位 回転運動 SI単位 法則 並進運動 回転運動
物理量 位置 m 角度 rad=m/m 慣性の法則 物体は力を加えられない限り、等速直線運動または静止を続ける 物体がトルクを加えられない限り、等速円運動または静止を続ける
速度 m/s 角速度 rad/s
加速度 m/s2 角加速度 rad/s2 運動の法則 物体に力が加わると、質量(慣性質量)に比例した加速度を生じる。

 \vec{F} = m \vec{a}

物体にトルクが加わると、慣性モーメントに比例した角加速度を生じる。

 \vec{N} = I \dot{\omega}

質量(慣性質量) kg 慣性モーメント kg・m2
N

=kg・m/s2

トルク N・m

=kg・m2rad/s2

運動量の時間的変化率が力に相当する

 \tfrac{d\vec p}{dt} = \vec{F}

角運動量の時間的変化率がトルクに相当する

 \tfrac{d\vec L}{dt} = \vec{N}

運動量 kg・m/s 角運動量 kg・m2/s

=kg・m2rad/s

ベクトル量に関する保存則 運動量保存の法則

 \frac{d\vec P}{dt} = \sum \vec{F}_i

角運動量保存の法則

 \frac{d\vec L}{dt} = \sum \vec{N}_i

並進運動エネルギー J

=kg・m2/s2

回転運動エネルギー J

=kg・m2rad2/s2

仕事 J=N・m 仕事 J=N・m・rad
仕事率 W=J/s

=N・m/s

仕事率 W=J/s

=N・m・rad/s

剛体の運動エネルギー[編集]

剛体の運動エネルギーは、並進運動と回転運動の、それぞれの運動エネルギー(並進運動エネルギーと回転運動エネルギー)の和である。

並進運動エネルギーは、 \frac{1}{2} M \left( \frac{d\vec s}{dt} \right) ^2 となる。

回転運動エネルギーKは各粒子の運動エネルギーの和であるから、各粒子の質量をmi、代表点に対する速度をviとすると、

 K = \frac{1}{2} \sum m_iv_i^2 = \frac{1}{2} \sum m_ir_i^2\omega^2 = \frac{1}{2} I \omega^2

である。このとき、ω角速度Iは慣性モーメント(下記参照)である。

剛体の慣性モーメント[編集]

ここでは、剛体の並進運動を棚に上げ、重心を通る軸の周りの回転運動についてだけ記述する。軸とz軸を重ね、軸に沿っての運動はないものと考える。この場合に重要になる物理量が慣性モーメントI(一般的な慣性モーメントについて→慣性モーメント)である。慣性モーメントは、

I=\sum_{k} m_kr_k^2

が定義であり、剛体を構成する各粒子の、質量と軸からの距離の2乗の積であり、決して変形しない剛体にとって固有に定められた定数である。

一般に剛体では粒子が連続的に分布している(連続体)ので、慣性モーメントは次のような積分として計算される。

I\longrightarrow \int_{V} r^2\, dm=\int_{V} r^2\rho (r)\, dV
{}=\iiint_{V} r^2\rho (r)\, dx\,dy\,dz

ここで、積分領域のVは剛体の体積を表す。

慣性モーメントは慣性能率とも呼ばれ、次のような重要性がある。

剛体の、質量が\mathrm{m_k}であるk番目の質点が軸から垂直方向に座標\mathrm{r_k}で外力によって質点が受ける運動量を\mathrm{p_k}とし、角速度ωをとすると、L

L=\sum_{k} r_kp_k=\sum_{k} r_km_kv_k=\sum_{k} m_kr_k^2\omega

したがって、

L=I\omega\cdots (1)

となる。

また、\tfrac{dL}{dt}=Nから、

N=I\frac{d\omega}{dt}

ところで、Iは、剛体の全質量をMとすると、

I=M\,k^2

と表すこともできる。このとき、kは剛体の回転半径という。この式の意味は、剛体の慣性モーメントは、考えている軸にkだけ離れた位置に全質量Mが集中している回転体として求めた量とみなすことができることである。

ここで慣性モーメント自体の力学的意義について説明する。(1)から、トルクNを一定にしたとき、角加速度は慣性モーメントIに反比例することがわかる。慣性モーメントを大きくしたとき、すなわち剛体の質量か回転半径を大きくしたとき、角加速度は小さくなる。すなわち回転の速度を変えるのに時間が懸かることになり、これは例えば、その剛体が回転しにくいが、一度回り始めると止めにくいことを表す。慣性モーメントIとは、回転の慣性の大きさを表す量、すなわち回転の(あるいは回転の速度を変える)難易性の目安を表している。ある回転の安定性、永続性の尺度とも言える。この理を利用して、安定した回転を保つために、大きな弾み車発電機や各種のエンジンに取り付けられている。

慣性モーメントの計算法[編集]

慣性モーメントは剛体の質量や形状に依存するが、ここでその計算方法を示す。

直交軸の定理[編集]

直交軸の定理とは、剛体が薄い平板の時、この平面での互いに直交する軸の周りの慣性モーメントの和は、2つの軸の交点で面に直交する軸の周りの慣性モーメントに等しくなるという定理である。

ここで、平面内の2つの軸をx軸、y軸とすると、これらの軸の周りの慣性モーメントは次のようになる。ここでσは面密度であり、積分領域は剛体上の全平面をとる。

I_x=\int \rho y^2\, dx\,dy,I_y=\int \rho x^2\, dx\,dy\,\,\,\,\,(dm=\rho \,dx\,dy)

この和は、

I_x+I_y=\int \rho (x^2+y^2)\, dx\,dy=\int \rho r^2\, dx\,dy

となるが、rはz軸からの距離でありちょうどz軸の周りの慣性モーメントとなっている。

I_x+I_y\,=\,I_z

平行軸の定理[編集]

平行軸の定理あるいはスタイナーの定理とは、質量がMの剛体の重心を通る任意の軸の周りの慣性モーメント\mathrm{I}_\mathrm{G}が既知であるとき、この軸と平行な軸の周りの慣性モーメント\mathrm{I}は、2軸間の距離を\mathrm{h}とすると、次のように表される

I=I_G+M\,h^2

という定理である。

関連項目[編集]