哲学的論理学

狭義に解釈すると、哲学的論理学（てつがくてきろんりがく、英語: philosophical logic）は、論理学の中で哲学的問題への論理的手法の適用を研究する分野であり、しばしば様相論理のような拡張された論理体系の形をとる。広義には、哲学的論理学を論理学一般の範囲と性質の研究として捉える論者もいる。この広義の意味では、哲学的論理学は論理学の哲学と同一視することができ、そこでは「論理学の定義」や「論理学の基本概念についての考察」といった追加的なトピックも含まれる。本記事では哲学的論理学を狭義に扱い、論理学の哲学の中のひとつの探究分野として位置づける。

哲学的論理学にとって重要な問題のひとつは、多種多様な非古典論理の体系をどのように分類するかという問いである。これらの多くは比較的最近生まれたものである。文献でよく見られる分類の一形式は、拡張論理（extended logics）と逸脱論理（deviant logics）とを区別するものである。論理学そのものは妥当な推論の研究として定義できる。古典論理は支配的な論理の形式であり、排中律・二重否定除去・真理の二値性など、多くの人が共有する論理的直観に従った推論規則を定式化する。

拡張論理は古典論理とその推論規則に基づきながら、新たな論理記号とそれに対応する推論規則を導入することで新たな分野へ拡張した論理体系である。真理様相論理の場合、これらの新記号は単に「真である」だけでなく「可能的に真」または「必然的に真」であることを表現するために用いられる。様相論理はしばしば可能世界意味論と組み合わされ、命題は少なくとも一つの可能世界で真であれば可能的に真であり、すべての可能世界で真であれば必然的に真であるとされる。義務論理は倫理学に関わるものであり、義務や許可といった倫理的概念を形式的に扱う。時制論理は命題間の時間的関係を形式化する。これには「いつか真であるか」「常に真であるか」「過去または未来に真であるか」といった考えが含まれる。認識論理は認識論に属し、事実だけでなく誰かが何かを信じていたり知っていたりするということを表現するために用いられる。その推論規則は、誰かがこうした心的状態を持つという事実から何が帰結するかを定式化する。高階論理は古典論理を特定の新たな哲学的分野に直接適用するのではなく、個体だけでなく述語上への量化を許すことで古典論理を一般化する。

逸脱論理は、これらの拡張論理とは対照的に、古典論理の根本的な原理の一部を否定し、しばしばその競合者と見なされる。直観論理は、真理が証明による検証に依存するという考えに基づく。これにより、この前提と相容れない古典論理の推論規則の一部が排除される。自由論理は、名前や確定記述といった指示対象を持たない可能性のある単称名辞の使用に付随する存在論的前提を回避するために古典論理を修正する。多値論理は「真」と「偽」以外の真理値を追加することで真理の二値性の原理を否定する。矛盾許容論理は矛盾を扱うことのできる論理体系であり、古典論理に見られる爆発律を回避することでこれを実現する。関連性論理は矛盾許容論理の代表的な形式であり、実質条件法の純粋に真理関数的な解釈を否定し、条件文が真であるためには前件が後件に関連していなければならないという追加要件を導入する。

定義と関連分野

「哲学的論理学」という用語は、論者によって若干異なる使われ方をする。 本記事で論じるような狭義の意味では、哲学的論理学は論理的手法を哲学的問題に適用することを研究する哲学の分野である。これは通常、古典論理を新たな領域へと拡張するか、古典論理では適切に扱われていない論理的直観を取り込むために修正するかのいずれかの形で、新たな論理体系を開発することで行われる。 この意味では、哲学的論理学は様相論理や義務論理といった様々な非古典論理の形式を研究する。こうして、可能性・必然性・義務・許可・時間といった様々な基本的哲学概念が、それらが互いに対してどのような推論上の役割を果たすかを形式的に表現することで、論理的に精緻に扱われる。 より広義の意味として、哲学的論理学を論理学一般の範囲と性質の研究として理解する論者もいる。この見方では、それは論理学が提起する様々な哲学的問題、すなわち論理学の基本概念を含むものを探究する。この広義の意味では、論理学の哲学と同一視できる。 本記事では哲学的論理学の狭義の概念のみを論じる。この意味において、それは論理学の哲学の一分野を構成する。

哲学的論理学にとって中心的なのは、論理学とは何か、そして哲学的論理学がその中でどのような役割を果たすかの理解である。論理学は妥当な推論の研究として定義できる。 推論とは前提から結論へと至る推理のステップである。 しばしば「論証」という用語も同義に用いられる。前提が真であれば結論が偽になり得ない場合、その推論は妥当である。この意味で、前提の真は結論の真を保証する。 これは推論規則の観点で表現できる。推論の構造、すなわち前提と結論の形成の仕方が推論規則に従う場合、その推論は妥当である。 異なる論理体系は推論の妥当性について異なる説明を与え、異なる推論規則を用いる。妥当性に対する伝統的に支配的なアプローチは古典論理と呼ばれる。しかし哲学的論理学は非古典論理に関心を持ち、推論の代替体系を研究する。 その動機はおおまかに二つに分けられる。古典論理が狭すぎると見る論者は、古典論理を追加の記号で拡張することで解決しようとする。 他方、古典論理そのものに何らかの欠陥を見る論者は、論理学の法則について異なる説明を与えようとする。これは通常、逸脱論理の開発につながる。

論理学の分類

論理学の分野における近代的発展は、非常に多くの論理体系の増殖をもたらした。 これは二千年以上にわたって論理学の唯一の規範として扱われてきたアリストテレス論理学の歴史的優位とは著しい対照をなす。 現代の論理学の論文は、これらの異なる体系を別個のトピックのリストとして扱うことが多く、明確な分類を提供しないことが多い。しかし、学術文献でよく言及される分類のひとつはスーザン・ハークによるもので、古典論理・拡張論理・逸脱論理を区別する。 この分類は、命題論理学と一階論理学からなる古典論理が、多くの人が共有する最も一般的な論理的直観を形式化するという考えに基づく。この意味で古典論理は、妥当な推論を支配する公理の基本的な説明を構成する。 拡張論理はこの基本的説明を受け入れ、追加の領域へと拡張する。これは通常、必然性・義務・時間などを表現するための新たな語彙を追加することで行われる。 こうした新記号は、可能性は必然性から帰結するといった新たな推論規則を規定することで論理的メカニズムに組み込まれる。 逸脱論理は一方で、古典論理の基本的仮定の一部を否定する。この意味で、逸脱論理は単なる古典論理の拡張ではなく、論理法則について異なる説明を提供する競合体系として定式化されることが多い。

より技術的な言語で表現すると、拡張論理と逸脱論理の区別はやや異なる仕方で引かれることもある。この見方では、ある論理学が古典論理の拡張であるのは次の二条件が満たされる場合である。(1) 古典論理のすべての整式がそれにおいても整式である、(2) 古典論理における有効な推論がすべてそれにおいても有効な推論である。 逸脱論理については、(a) その整式のクラスが古典論理のものと一致する一方で、(b) 古典論理における有効な推論の一部がそれにおいては有効でない場合である。 準逸脱論理（quasi-deviant logic）という用語は、(i) 新たな語彙を導入するが古典論理のすべての整式がそれにおいても整式であり、かつ (ii) 古典論理の語彙のみを用いた推論に限定した場合でも古典論理における有効な推論の一部が有効でない場合に使われる。 「逸脱論理」という用語は、準逸脱論理を含む広義で用いられることも多い。

この論理学の多元性が提起する哲学的問題は、複数の真の論理学が存在し得るかという問いに関わる。 異なる種類の論理学を異なる領域に適用するローカルなアプローチを支持する論者もいる。たとえば初期の直観主義者は、直観論理を数学には正しい論理学として認めつつも、他の分野では古典論理を許容した。 しかしマイケル・ダメットのように、直観論理がすべての分野で古典論理に取って代わるべきとのグローバルなアプローチを好む者もいる。 一元論（monism）は唯一の真の論理学があるという命題である。 これは様々に理解できる。たとえば提案されたすべての論理体系のうち一つだけが正しいとか、正しい論理体系はすべての異なる論理学を基礎づけ統一する体系として今後発見されるべきものだという解釈もある。 一方、多元論者（pluralists）は、様々な異なる論理体系がすべて同時に正しくあり得ると主張する。

密接に関連する問題として、これらの形式的体系のすべてが実際に論理体系を構成するのかという問いもある。 これは特に、古典論理に関連する一般的な論理的直観から大きく逸脱する逸脱論理に当てはまる。この観点から、たとえばファジー論理学は名称こそ論理学だが実際には非論理的形式体系と見なすべきだという議論もある。真理の程度という考えは最も根本的な論理的直観からはかけ離れすぎているというのがその理由である。 こうして、本記事で論じるすべての形式的体系が厳密な意味での論理学を構成するとは誰もが同意するわけではない。

古典論理

古典論理は、ほとんどの分野で使用されている支配的な論理の形式である。 この用語は主として命題論理と一階論理を指す。 古典論理は哲学的論理学の中の独立したトピックではないが、哲学的論理学が直接関心を持つ多くの論理体系が古典論理の拡張あるいは修正として理解できるため、その十分な理解が必要である。 古典論理は当初、数学的論証を分析するために作られ、その後様々な他の分野に適用された。 そのため古典論理は、必然性と可能性の違い、義務と許可の違い、過去・現在・未来の違いなど、数学には無関係な多くの哲学的に重要なトピックを軽視している。 これらや類似のトピックは、古典論理を拡張する様々な哲学的論理学において論理的な扱いを受ける。 古典論理そのものは、いくつかの基本概念と、それらの概念が妥当な推論を行う上でどのような役割を果たすかにのみ関心を持つ。 命題論理学に関係する概念には、「かつ」「または」「ならば」といった命題結合子が含まれる。 こうした結合子に対する古典的なアプローチの特徴は、排中律・二重否定除去・爆発律・真理の二値性といった特定の法則に従うことである。 これにより古典論理は、これらの原理の一つあるいは複数を否定する様々な逸脱論理と区別される。

一階論理においては、命題そのものが述語・単称名辞・量化子といった命題より小さな部分から構成される。 単称名辞は対象を指示し、述語は対象の性質や対象間の関係を表現する。 量化子は「あるものについて」や「すべてのものについて」といった概念の形式的扱いを構成する。量化子は、述語が外延を持つかどうか、あるいはその外延が領域全体を含むかどうかを表現するために用いられる。 高階論理とは対照的に、量化は個体変項上にのみ許され、述語上への量化は許されない。

拡張論理

真理様相論理

真理様相論理（Alethic modal logic）は、論理学と哲学において非常に大きな影響を持つ。それは何が「可能的に真」または「必然的に真」であるかを表現するための論理的形式主義を提供する。 これは一階論理の拡張を構成する。一階論理それ自体は単純に「真である」ことしか表現できないが、二つの新しい記号を導入することでこの拡張が行われる。「$\Diamond$」は可能性を表し、「$\Box$」は必然性を表す。これらの記号は命題を修飾するために用いられる。たとえば「$W(s)$」が「ソクラテスは賢い」という命題を表すなら、「$\Diamond W(s)$」は「ソクラテスが賢いことは可能である」という命題を表現する。これらの記号を論理形式主義に組み込むために、一階論理の既存の公理に様々な公理が追加される。 これらの公理は、命題の妥当性がそこに含まれる様相記号にどう依存するかを規定する。通常、ある命題が必然的であればその否定は不可能であること、すなわち「$\Box A$」は「$\lnot \Diamond \lnot A$」と同値であるという考えが含まれる。また、何かが必然的であればそれは可能でもなければならない、すなわち「$\Diamond A$」は「$\Box A$」から帰結するという原理もある。 どの公理が様相論理を支配するかについては意見が分かれる。様相論理の様々な形式は、最も基本的なシステム（システムKなど）は最も基礎的な公理のみを含み、より強い体系（よく知られたシステムS5など）はその上に追加の公理を積み重ねるという入れ子構造の階層として提示されることが多い。 哲学的論理学における重要な議論は、どの様相論理の体系が正しいかという問いに関係する。 より強いシステムは多くの異なる推論を導き出せるという利点があるが、それに伴い追加の推論の一部が特定の場合において基本的な様相的直観と矛盾する可能性があるという問題もある。これが通常、より基礎的な公理体系を選ぶことの動機となる。

可能世界意味論はシステムS5を伴う様相論理において非常に影響力ある形式意味論である。 言語の形式意味論は、その言語の文が真または偽となる条件を特定する。形式意味論は妥当性のモデル論的概念において中心的な役割を果たす。 形式意味論は推論が妥当かどうかの明確な基準を提供できる。推論は、その前提が真のときに必ずその結論も真であるとき、すなわち真理を保存するときに限り妥当である。 可能世界意味論は、様相論理で表現された文の真理条件を可能世界の観点から規定する。 可能世界とは、物事のあり得た完全で一貫したあり方である。 この見方では、$\Diamond$演算子で修飾された文は少なくとも一つの可能世界で真であれば真であり、$\Box$演算子で修飾された文はすべての可能世界で真であれば真である。 したがって「$\Diamond W(s)$」（ソクラテスが賢いことは可能である）は、ソクラテスが賢い世界が少なくとも一つあるので真である。しかし「$\Box W(s)$」（ソクラテスは必然的に賢い）は、すべての可能世界でソクラテスが賢いわけではないので偽である。可能世界意味論は様相論理の形式意味論として循環的であると批判されている。 可能世界そのものが様相的な用語で定義されている、すなわち物事が「あり得た」あり方として定義されているためである。こうして可能世界意味論は、様相表現を含む文の真理を規定するために様相表現そのものを用いている。

義務論理

義務論理（Deontic logic）は古典論理を倫理学の分野へ拡張する。 倫理学において中心的に重要なのは義務と許可の概念、すなわち行為者がしなければならないこと・してよいことである。義務論理は通常これらの考えを演算子$O$と$P$で表現する。 たとえば「$J(r)$」が「ラミレスはジョギングに行く」という命題を表すなら、「$OJ(r)$」はラミレスがジョギングに行く義務を持つことを意味し、「$PJ(r)$」はラミレスがジョギングに行く許可を持つことを意味する。

義務論理は真理様相論理と密接に関連しており、その演算子の論理的振る舞いを支配する公理は同一である。これは義務と許可が妥当な推論に関して必然性と可能性と同じように振る舞うことを意味する。 そのため同一の記号が演算子として用いられることもある。 真理様相論理と同様に、哲学的論理学では義務論的推論を支配する一般的直観を表現するための正しい公理系はどれかという議論がある。 しかし、演算子の意味が異なるため、ここでの論証と反例は若干異なる。たとえば倫理学における一般的直観は、行為者が何かをする義務を持つならば自動的にそれをする許可も持つというものである。これは公理図式「$OA\to PA$」によって形式的に表現できる。 哲学的論理学が関心を持つ別の問いは、真理様相論理と義務論理の関係である。この点でよく論じられる原理は「べきは可能を含意する」（ought implies can）である。これは行為者が何かをする義務を持つのは、それが可能な場合に限るということを意味する。 形式的に表現すると：「$OA\to \Diamond A$」。

時制論理

時制論理（Temporal logic、またはtense logic）は、論理的メカニズムを用いて時間的関係を表現する。 最も単純な形では、何かがある時点において起こったことを表現する演算子と、何かが常に起こっていることを表現する演算子を含む。この二つの演算子は真理様相論理における可能性と必然性の演算子と同じように振る舞う。過去と未来の違いは人間の事柄にとって根本的に重要であるため、これらの演算子はしばしばこの違いを考慮するよう修正される。たとえばアーサー・プライアの時制論理は、四つの演算子を用いてこの考えを実現する。$P$（かつてそうであった）、$F$（やがてそうなる）、$H$（常にそうであった）、$G$（常にそうであり続ける）である。 たとえばロンドンでは常に雨が降り続けることを表現するには「$G(Rainy(london))$」が使える。様々な公理が、演算子に依存する妥当な推論を支配するために用いられる。これによれば、たとえば「$F(Rainy(london))$」（いつかロンドンで雨が降るだろう）は「$G(Rainy(london))$」から導出できる。より複雑な時制論理の形式では、何かが別の何かが起こるまで続くことを表現するための二項演算子も定義される。

時制様相論理は、時間を単称名辞の形で扱い述語の項数を一つ増やすことで、古典一階論理学へ変換できる。 たとえば時制論理の文「$dark\land P(light)\land F(light)$」（暗い、かつて明るかった、そしてまた明るくなるだろう）は純粋な一階論理として「$dark(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}<t_{1}\land light(t_{0}))\land \exists t_{2}(t_{1}<t_{2}\land light(t_{2}))$」と変換できる。 こうしたアプローチは物理学ではよく見られるが、論理学者は通常、演算子による自律的な時間の扱いを好む。これはまた、事象の過去性や未来性を表現するために主に文法（たとえば動詞の活用）を用いる自然言語にも近い。

認識論理

認識論理（Epistemic logic）は認識論の分野に適用された様相論理の一形式である。 それは知識と信念の論理を捉えることを目指す。知識と信念を表現する様相演算子は通常「$K$」と「$B$」で表される。「$W(s)$」が「ソクラテスは賢い」を表すなら、「$KW(s)$」は「行為者はソクラテスが賢いことを知っている」を表し、「$BW(s)$」は「行為者はソクラテスが賢いと信じている」を表す。これらの演算子を支配する公理が様々な認識論的原理を表現するために定式化される。 たとえば公理図式「$KA\to A$」は、何かが知られているときにはそれが真であるということを表現する。これは知ることのできるのは真なることのみであり、そうでなければそれは知識ではなく他の心的状態であるという考えを反映する。 知識についての別の認識論的直観は、行為者が何かを知っているとき、彼らはそれを知っていることも知っているというものである。これは公理図式「$KA\to KKA$」で表現できる。 さらに知識と信念を結びつける原理として、知識は信念を含意する、すなわち「$KA\to BA$」がある。動的認識論理（Dynamic epistemic logic）は、信念と知識の変化が生じる状況に焦点を当てた独自の形式の認識論理である。

高階論理

高階論理は、新たな形式の量化を含めることで一階論理を拡張する。 一階論理では量化は単称名辞に限定されており、述語が外延を持つかどうか、あるいはその外延が領域全体を含むかどうかを論じることができる。これにより「$\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$」（あるリンゴは甘い）のような命題を表現できる。高階論理では、量化は個体変項上だけでなく述語上にも許される。これにより、たとえば「$\exists Q(Q(mary)\land Q(john))$」（メアリーとジョンが共有するある性質がある）のように特定の個体がいくつかまたはすべての述語を共有するかどうかを表現できる。 こうした変更により、高階論理は一階論理よりも表現力が高い。これは数学において様々な点で有益であり、異なる数学的理論が一階論理よりも高階論理においてはるかに簡潔に表現できる。 たとえばペアノ算術とツェルメロ＝フレンケル集合論は一階論理では無限の公理を必要とするが、二階論理ではわずかな公理で表現できる。

しかしこの利点にもかかわらず、一階論理は高階論理よりもはるかに広く用いられている。その理由の一つは高階論理が不完全であるためだ。 これは高階論理で定式化された理論については、その理論に関する真のすべての文を証明できるわけではないことを意味する。 もう一つの欠点は、高階論理の追加的な存在論的コミットメントに関連する。存在量化子の使用は、その量化子が及ぶ実体への存在論的コミットメントをもたらすと一般に考えられている。 一階論理では量化は個体のみに関わり、通常これは問題のない存在論的コミットメントと見なされる。高階論理では量化は性質や関係にも関わる。 これはしばしば、高階論理がプラトン主義の一形式、すなわち普遍的な性質と関係が個体に加えて存在するという見解をもたらすと解釈される。

逸脱論理

直観論理

直観論理は古典論理のより制限された版である。 これは古典論理で用いられる特定の推論規則がそこでは妥当な推論を構成しないという意味でより制限的である。これは特に排中律と二重否定除去に関わる。 排中律はすべての文についてそれ自身かその否定が真であると述べる。形式的に表現すると：$A\lor \lnot A$。二重否定除去の法則は、ある文が二重に否定されて真であればそれは真であることを述べる。すなわち「$\lnot \lnot A\to A$」。 これらの制限のために多くの証明がより複雑になり、従来受け入れられていた一部の証明が不可能になる。

これらの古典論理の修正は、真理が証明による検証に依存するという考えに動機づけられている。これは「真」が「検証可能」を意味するという解釈がなされてきた。 当初は数学の領域にのみ適用されたが、以来他の領域でも用いられるようになった。 この解釈では、排中律はすべての数学的問題が証明の形での解を持つという仮定を含む。この意味で、排中律の直観主義的な否定はこの仮定の否定に動機づけられている。 この立場はまた、経験されない・検証超越的な真理はないと述べることによっても表現できる。 この意味で、直観論理は形而上学的観念論の一形式によって動機づけられている。数学に適用されると、数学的対象は心の中で構成される限りにおいてのみ存在すると述べることになる。

自由論理

自由論理（Free logic）は古典論理に見られる存在論的前提の一部を否定する。 古典論理では、すべての単称名辞は量化域内の対象を指示していなければならない。 これは通常、名指された実体の存在への存在論的コミットメントと理解される。しかし日常の言説では「サンタクロース」や「ペガサス」のように存在する実体を指示しない名前も多く用いられる。これはこうした言説の領域を厳密な論理的扱いから排除する恐れがある。自由論理は指示対象を持たない単称名辞を含む論理式を許すことでこれらの問題を回避する。 これは固有名と確定記述、および関数表現に適用される。 量化子は一方で通常通り領域上を動くと扱われる。これにより「$\lnot \exists x(x=santa)$」（サンタクロースは存在しない）のような表現が、古典論理では自己矛盾であるにもかかわらず真になり得る。 また、古典論理では妥当な推論の特定の形式が自由論理では妥当でなくなる。たとえば古典論理では「$Beard(santa)$」（サンタクロースはひげを持つ）から「$\exists x(Beard(x))$」（何かがひげを持つ）を推論できるが、自由論理ではできない。 自由論理ではしばしば存在述語が用いられ、単称名辞が領域内の対象を指示するかどうかを示す。しかし存在述語の使用は論争的である。これは存在がそもそも述語が対象に適用されるための前提条件であるという考えに基づいて、しばしば反対される。この意味では、存在それ自体は述語ではあり得ない。

「自由論理」という用語を作ったカレル・ランベルトは、自由論理を述語論理学がアリストテレス論理学の一般化であるのと同様に、古典述語論理学の一般化として理解できると示唆した。この見方では、古典述語論理学が空の外延を持つ述語を導入し、自由論理が存在しないものの単称名辞を導入する。

自由論理の重要な問題は、空の単称名辞を含む表現の真理値をどのように決定するか、すなわち自由論理の形式意味論を定式化することである。 古典論理の形式意味論はその表現の真理を指示対象の観点で定義できる。しかしこの方法は自由論理のすべての表現に適用できない。なぜならすべての表現が指示対象を持つわけではないからである。 この問題に対する三つの一般的なアプローチが文献では論じられている。否定意味論（negative semantics）・肯定意味論（positive semantics）・中立意味論（neutral semantics）である。 否定意味論は、空の項を含むすべての原子論理式は偽であるとする。この見方では、「$Beard(santa)$」は偽である。 肯定意味論は、空の項を含む表現の少なくともいくつかが真であることを認める。これには通常「$santa=santa$」のような同一性命題が含まれる。一部の版では存在しない対象のための第二の外在的領域を導入し、それによって対応する真理値を決定する。 中立意味論は一方で、空の項を含む原子論理式は真でも偽でもないとする。 これはしばしば三値論理学、すなわちこれらの場合に対して真と偽に加えて第三の真理値が導入されると解釈される。

多値論理

多値論理は三つ以上の真理値を許す論理学である。 多値論理は古典論理の核心的仮定の一つ、すなわち真理の二値性の原理を否定する。最も単純な版の多値論理は三値論理学であり、第三の真理値を含む。たとえばスティーヴン・コール・クリーネの三値論理学では、この第三の真理値は「未定義」である。 ニュエル・ベルナップの四値論理学によれば、「真」「偽」「真でも偽でもない」「真かつ偽」の四つの可能な真理値がある。これは例えば、ある状態が成立するかどうかについて持つ情報として解釈できる。すなわち、成立するという情報・成立しないという情報・情報なし・矛盾する情報である。 多値論理の最も極端な形の一つはファジー論理学であり、0から1の間の任意の程度で真理が生じることを許す。 0は完全な偽に対応し、1は完全な真に対応し、その中間の値は何らかの程度における真、たとえばわずかに真または非常に真に対応する。 ファジー論理学はしばしば自然言語における曖昧な表現を扱うために用いられる。たとえば「ペトルは若い」という発言は、「ペトル」が3歳の子を指す場合の方が、23歳の人を指す場合よりも当てはまる（すなわち「より真である」）。 有限個の真理値を持つ多値論理は、古典論理と同様に真理表を用いて論理結合子を定義できる。違いはより多くの可能な入力と出力を考慮しなければならないため、これらの真理表がより複雑になることである。 たとえばクリーネの三値論理学では、連言演算子「$\land$」への入力「真」と「未定義」の結果は「未定義」になる。一方、入力「偽」と「未定義」の結果は「偽」になる。

矛盾許容論理

矛盾許容論理（Paraconsistent logic）は、矛盾を全面的な不条理に陥ることなく扱うことのできる論理体系である。 これは古典論理に見られる爆発律を回避することで実現される。爆発律によれば、矛盾からは何でも帰結する。これは古典論理で妥当な二つの推論規則、選言の導入と選言的三段論法のためである。 選言の導入によれば、真な命題と組み合わせることで任意の命題を選言の形で導入できる。 たとえば「太陽は月より大きい」ということは真であるので、「太陽は月より大きい、またはスペインは宇宙ウサギに支配されている」と推論できる。選言的三段論法によれば、もう一方の選言肢が偽であればいずれかの選言肢が真であることを推論できる。 したがってこの命題の否定、すなわち「太陽は月より大きくない」も論理体系に含まれるならば、「スペインは宇宙ウサギに支配されている」のような任意の命題をこの体系から推論できる。矛盾許容論理は、爆発律に従う推論を無効にする異なる推論規則を用いることでこれを回避する。

矛盾許容論理を用いる重要な動機はダイアレテイズム（dialetheism）である。これは矛盾が理論に誤りによって導入されるのではなく、現実そのものが矛盾的であり、理論内の矛盾は現実を正確に反映するために必要だという信念である。 矛盾許容論理なしには、ダイアレテイズムは絶望的だろう。なぜならすべてが真かつ偽になってしまうからである。 矛盾許容論理は体系全体を「爆発」させることなく矛盾を局所的に保つことを可能にする。 しかしこの修正を施してもなお、ダイアレテイズムは高度に論争的である。 矛盾許容論理のもう一つの動機は、グループの異なるメンバーが意見を異にする場合にグループ全体として矛盾した信念を持ちうる議論やグループ信念のための論理学を提供することである。

関連性論理

関連性論理（Relevance logic）は矛盾許容論理の一種であり、爆発律も回避するが、それは通常関連性論理の主な動機ではない。代わりに関連性論理は通常、古典論理に見られる実質条件法の直観に反する特定の適用を回避するという目標のもとで定式化される。 古典論理は実質条件法を純粋に真理関数的な観点で定義する。すなわち「$p\to q$」は「$p$」が真で「$q$」が偽の場合に限り偽であり、それ以外の場合はすべて真である。この形式的定義によれば、「$p$」と「$q$」が何らかの仕方で互いに関連しているかどうかは問題にならない。 たとえば「すべてのレモンが赤いならばシドニー・オペラハウスの内部に砂嵐がある」という実質条件文は、二つの命題が互いに無関係にもかかわらず真である。

こうした実質条件法の使用が非常に直観に反することは、このような推論を関連性の誤謬として分類する非形式論理学にも反映されている。関連性論理はこうした場合を回避するために、真の実質条件文には前件が後件に関連していることを要求する。 この問題に直面する困難は、関連性が通常命題の内容に属するのに対して論理学は形式的側面のみを扱うことである。この問題は「変数共有原理」（variable sharing principle）と呼ばれるものによって部分的に対処される。これは前件と後件が命題変数を共有しなければならないと述べる。 たとえば「$(p\land q)\to q$」ではこれが成立するが、「$(p\land q)\to r$」では成立しない。関連性論理の密接に関連する関心は、推論も同じ関連性の要件に従うべきであるという考えである。すなわち、妥当な推論の必要条件として前提が結論に関連していることが必要だという考えである。

関連項目

• 論理学と弁証法
• 論理学と合理性