ブール関数

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ブール関数(ブールかんすう、Boolean Function)は、非負整数 k 個のブール領域 B の引数をとり、1個のブール領域の値となる関数 f : BkB である。k = 0 では、単に定数 B となる。

他の分野では別の名前があることも多い。たとえば協力ゲーム理論で「シンプルゲーム」(投票ゲーム) とよばれる概念がそれに該当し、社会選択理論の重要な問題を解くために応用されている。

ブール関数を一般化すると、f : XB という形式の関数において、X が任意の集合である場合を「ブール値関数」と呼ぶ。X = M = {1, 2, 3, …} であるとき、f は無限の「二値数列; binary sequence」すなわち 0 と 1 の無限である。X = [k] = {1, 2, 3, …, k} であるとき、f は長さ k の二値数列である。そのような関数は 個存在する。これは計算複雑性理論における問題で基本的な役割を果たす他、論理回路の設計でも利用される。ブール関数の特徴は暗号理論においても重要であり、特に共通鍵暗号の設計で重要である。

リード-マラー標準形[編集]

ブール関数は積(AND)の総和(XOR)で一意に記述できる。これを リード-マラー標準形と呼ぶ。

ここで である。

従って、列 の値の列もブール関数を一意に表している。ブール関数の代数的次数は、1つの(AND)項に現われる の個数で表される。つまり、 の次数は 1(線形)であり、 の次数は 3(立方)である。

効率的表現[編集]

ブール関数は命題論理での文として表現されることが多いが、より効率的な表現として次のようなものがある。

簡単化[編集]

効率的な表現に変換する手法として次のようなものがある。

  • カット・アンド・トライ法
ブール代数の定義を用い、効率的な表現に変形していく。
  • カルノー図法
カルノー図を用い、効率的な表現に変形していく。
  • クワイン・マクラスキー法
クワイン・マクラスキー法を用い、効率的な表現に変形していく。計算機で簡単化するのに適している。
  • ベン図
ベン図を用いて視覚的にわかりやすい表現にする。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]