真理関数

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真理関数 ( しんりかんすう、Truth Function ) とは、数理論理学において、各変数の変域と終集合とがそれぞれ真な命題と偽な命題とだけから成る集合に等しいような写像である。真理関数は命題関数でもある。

定義[編集]

真理関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。

  1. 真な命題を表わす記号 : \curlyvee
  2. 偽な命題を表わす記号 : \curlywedge

L\curlyvee\curlywedge とだけから成る集合、n を自然数とするとき、n 個の L の直積 \prod_{i=1}^n L から L への写像を n 変数の真理関数という。

主な真理関数[編集]

1 変数の真理関数 ¬ と 2 変数の真理関数 ∨、∧ とはそれぞれ以下の等式で定義される。ただし、ABL の元の変数である。


\lnot A=
\begin{cases}
\ \curlywedge & \mbox{if }A=\curlyvee\\
\ \curlyvee & \mbox{otherwise}
\end{cases}

A\lor B=
\begin{cases}
\ \curlywedge & \mbox{if }A=B=\curlywedge\\
\ \curlyvee & \mbox{otherwise}
\end{cases}

A\land B=
\begin{cases}
\ \curlyvee & \mbox{if }A=B=\curlyvee\\
\ \curlywedge & \mbox{otherwise}
\end{cases}

AA∨BA∧B をそれぞれ、A否定AB との論理和AB との論理積という。n 変数の真理関数は全部で 2^{2^{n}} 個ある。

真理値表[編集]

真理関数の定義を真理値表という表を用いて示すことがある。

¬ の真理値表
A A
\curlyvee \curlywedge
\curlywedge \curlyvee
∨ の真理値表
A B A∨B
\curlyvee \curlyvee \curlyvee
\curlyvee \curlywedge \curlyvee
\curlywedge \curlyvee \curlyvee
\curlywedge \curlywedge \curlywedge
∧ の真理値表
A B A∧B
\curlyvee \curlyvee \curlyvee
\curlyvee \curlywedge \curlywedge
\curlywedge \curlyvee \curlywedge
\curlywedge \curlywedge \curlywedge

真理値表は次のように見る。¬ の真理値表の第 1 行は 「 A = \curlyvee であるとき、¬A = \curlywedge である 」 を意味する。∨ の真理値表の第 2 行は 「 A = \curlyveeB = \curlywedge であるとき、A∨B = \curlyvee である 」 を意味する。∧ の真理値表の第 3 行は 「 A = \curlywedgeB = \curlyvee であるとき、A∧B = \curlywedge である 」 を意味する。

真理集合[編集]

Fn 変数の真理関数とするとき、F(X) = \curlyvee を満たす \prod_{i=1}^n L の元 X 全体から成る集合を F真理集合といい、[F] で表わす。


[\ \lnot\ ] = \{\ X\ |\ X\in L,\ \lnot X=\curlyvee\ \} = \{\ \curlywedge\ \}

[\ \lor\ ] = \{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\lor X_{2}=\curlyvee\ \} = \{\ (\curlyvee,\curlyvee),(\curlyvee,\curlywedge),(\curlywedge,\curlyvee)\ \}

[\ \land\ ] = \{\ (X_{1},X_{2})\ |\ (X_{1},X_{2})\in L\times L,\ X_{1}\land X_{2}=\curlyvee\ \} = \{\ (\curlyvee,\curlyvee)\ \}


2 つの真理関数 FG とが等しいことは、F の真理集合と G の真理集合とが等しい為の必要十分条件である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. 前原昭二、復刊 数理論理学序説、共立出版株式会社、2010。