存在記号

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存在記号(そんざいきごう、existential quantifier)とは、数理論理学(特に述語論理)において、少なくとも1つのメンバーが述語の特性や関係を満たすことを表す記号である。通常「」と表記され、存在量化子(そんざいりょうかし)、存在限量子(そんざいげんりょうし)、存在限定子(そんざいげんていし)などとも呼ばれる。

これとは対照的に全称記号は、何かが常に真であることを示す。

概要[編集]

自然数の平方(二乗)が25であるときだけ真となる式を書きたいとしよう。最も素朴なやり方は次のように次々と式を書いていく:

0·0 = 25, または 1·1 = 25, または 2·2 = 25, または 3·3 = 25, などなど

これは 「または」を繰り返しているので、一種の論理和となっている。しかし、「などなど」があるため形式論理の論理和とは言えない。この代わりに以下のような文を書くとしよう:

ある自然数 n について、 n·n = 25 である。

これは存在量化(existential quantification)を表した文である。

この文はその上の書き方よりも正確である点に注意されたい。「などなど」という語句は全ての自然数を指しているのは明らかと思われるが、それが明確に述べられていない。そのため、これを形式的表現に変換できないのである。一方、後者の量化された文では自然数について明確に言及している。

この例は真である。5 は自然数であり、5 を n に「代入」すると "5·5 = 25" となり、真となる。"n·n = 25" がほとんどの自然数 n で偽となることは問題ではない。存在量化で真となるには少なくとも1つの解が存在すれば十分である。

一方、「ある偶数 n について、n·n = 25 である」という文は、偶数の解が存在しないため偽となる。また、「ある奇数 n について、n·n = 25 である」という文は、5 が奇数であるため真となる。これらは変数nが取りうる値の範囲を示す「議論領域; domain of discourse」が重要であることを示している。何らかの述語を満たす値だけを議論領域としたい場合、存在量化では論理積を使用すればよい。例えば、「ある奇数 n について、n·n = 25 である」という文は「ある自然数 n について、nは奇数であり、かつ n·n = 25 である」という文と論理的に等価である。この場合「かつ」という語句で論理積を表している。

数理論理学で存在量化を表す存在記号は "∃"(サンセリフ体の "E" を裏返した字)で表される。従って、P(a, b, c) が "a·b = c" を表す述語で、N が自然数の集合であるとすると、

 \exists{n}{\in}\mathbf{N}\, P(n,n,25)

という論理式が以下の文(真)を表すことになる。

ある自然数 n について、 n·n = 25 である。

同様に、Q(n) が 「nは偶数である」を表す述語とすると

 \exists{n}{\in}\mathbf{N}\, \big(Q(n)\;\!\;\! {\wedge}\;\!\;\! P(n,n,25)\big)

という論理式が以下の文(偽)を表すことになる。

ある偶数 n について、n·n = 25 である。

存在記号の各種記号法は全称記号の項目にある。

符号位置[編集]

記号 Unicode JIS X 0213 文字参照 名称
U+2203 1-2-48 ∃
∃
存在限定子

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • Hinman, P. (2005年). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-568-81262-0.