素数の間隔

素数の間隔（そすうのかんかく、prime gap）は、連続する2つの素数の差。 $g n$ もしくは $g (p n)$ で表される $n$ 番目の素数の間隔は、 $n + 1$ 番目の素数と $n$ 番目の素数の差である。すなわち

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}

$g 1 = 1, g 2 = g 3 = 2, g 4 = 4$ である。素数の間隔の列は広く研究されてきたが、多くの疑問や仮説が残っている。

初めから60個の素数の間隔は

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, …^[2]

$g n$ の定義により、全ての素数は次のように書ける。

p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}

簡単な観察[編集]

最初の間隔は1 (=3-2) であり、2を除く素数がすべて奇数であることから、1は唯一かつ最小の間隔である。以降の間隔はすべて2以上の偶数となるが、値 2 の間隔が連続しているのは素数 $3, 5, 7$ の間の間隔である $g 2$ と $g 3$ の1組だけである。

任意の整数 $n$ に対して、 $n$ の階乗（ $n$ を含む $n$ までの全ての正の整数の積）を用いると、数列

n!+2,n!+3,n!+4,\ldots ,n!+n

において1番目の項は2で割り切れ、2番目の項は3で割り切れ、これが続く。よって、これは $n - 1$ 個の連続した合成数の数列であり、長さがn以上の間隔を与える隣り合う素数の間の連続した整数の列（の全体あるいは一部）になる。このことから隣り合う素数の間隔にはいくらでも大きいものが常に存在すること、すなわち、任意に与えた整数Nに対して $g m \geq N$ となる添字mが常に存在することが分かる。

しかし、n個の数の素数の間隔は、n!よりもずっと小さい数で生じることがある。例えば、素数の間隔が14よりも大きい最初の場所は523と541の間であるが、その一方で15!は1 307 674 368 000という非常に大きな数である。

素数の平均間隔は整数の自然対数が大きくなるにつれて長くなり、したがって関係する整数と、これに対する素数の間隔との比は小さくなる（漸近的に0になる）。これは素数定理の結果であるヒューリスティックな観点から見ると、自然対数に対する間隔の長さの比が固定の正数k以上である確率は $e - k$ であると予想される。結果として比は任意に大きくなる。実際、整数の桁数に対する間隔の比は際限なく増加する。これはエリック・ウェストジンティウスによる結果の帰結である^[3]。

逆に、双子素数の推論は、無限に多い整数nに対してg_n = 2を仮定している。

数値結果[編集]

通常g_n / ln(p_n)の値のことを、間隔g_nのmerit値という。2017年9月現在、分かっている確率的素数の間隔の端の、最大の既知の素数の間隔は長さ6 582 144で、マーティン・ラーブにより発見された216,841桁の確率的素数においてであった^[4]。この間隔のmerit値は13.1829である。最大の既知の素数の間隔は長さ1 113 106であり、merit値は25.90であり、ピエール・カミ、ミシェル・ヤンセン、イェンス・K・アンデルセンにより発見された18,662桁の素数においてである^[5]^[6]。

2017年12月現在、知られている中で最大のmerit値で、かつ最初に40を超えるものは、41.938 783 73であり、87桁の素数293 703 234 068 022 590 158 723 766 104 419 463 425 709 075 574 811 762 098 588 798 217 895 728 858 676 728 143 227においてであった。この素数と次の素数の間の素数の間隔は8350である^[7]。

**最も大きいmerit値** (2018年1月現在）^[7]^[8]^[9]
Merit	g_n	桁数	p_n	年	発見者
41.938 784	8350	87	上参照	2017	Gapcoin
39.620 154	15900	175	3 483 347 771 × 409#/30 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38.066 960	18306	209	650 094 367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
37.824 126	8382	97	512 950 801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen
37.005 294	26054	306	1 780 005 161 × 719#/30 − 17768	2017	Dana Jacobsen

g_n / (ln(p_n))²の値のことをクラメル・シャンクス・グランヴィル比という^[7]。素数 $2, 3, 7$ の場合の異常に高い値を無視する場合、この値の知られている最大値は素数1 693 182 318 746 371のときの0.920 638 6である^[10]。

全てのm < nに対してg_m < g_nの場合、g_nのことを、極大の間隔(maximal gap)、または「極大の素数の間隔」という。2018年8月 (2018-08)現在^[update]、知られている最大の極大の間隔は1550であり、バーティル・ニーマンにより発見された。これは80番目の極大の間隔であり、素数18 361 375 334 787 046 697の後に生じる^[11]^[12]。

80個の既知の極大の素数の間隔

1から27
#	g_n	p_n	n
1	1	2	1
2	2	3	2
3	4	7	4
4	6	23	9
5	8	89	24
6	14	113	30
7	18	523	99
8	20	887	154
9	22	1,129	189
10	34	1,327	217
11	36	9,551	1,183
12	44	15,683	1,831
13	52	19,609	2,225
14	72	31,397	3,385
15	86	155,921	14,357
16	96	360,653	30,802
17	112	370,261	31,545
18	114	492,113	40,933
19	118	1,349,533	103,520
20	132	1,357,201	104,071
21	148	2,010,733	149,689
22	154	4,652,353	325,852
23	180	17,051,707	1,094,421
24	210	20,831,323	1,319,945
25	220	47,326,693	2,850,174
26	222	122,164,747	6,957,876
27	234	189,695,659	10,539,432

28から54
#	g_n	p_n	n
28	248	191,912,783	10,655,462
29	250	387,096,133	20,684,332
30	282	436,273,009	23,163,298
31	288	1,294,268,491	64,955,634
32	292	1,453,168,141	72,507,380
33	320	2,300,942,549	112,228,683
34	336	3,842,610,773	182,837,804
35	354	4,302,407,359	203,615,628
36	382	10,726,904,659	486,570,087
37	384	20,678,048,297	910,774,004
38	394	22,367,084,959	981,765,347
39	456	25,056,082,087	1,094,330,259
40	464	42,652,618,343	1,820,471,368
41	468	127,976,334,671	5,217,031,687
42	474	182,226,896,239	7,322,882,472
43	486	241,160,624,143	9,583,057,667
44	490	297,501,075,799	11,723,859,927
45	500	303,371,455,241	11,945,986,786
46	514	304,599,508,537	11,992,433,550
47	516	416,608,695,821	16,202,238,656
48	532	461,690,510,011	17,883,926,781
49	534	614,487,453,523	23,541,455,083
50	540	738,832,927,927	28,106,444,830
51	582	1,346,294,310,749	50,070,452,577
52	588	1,408,695,493,609	52,302,956,123
53	602	1,968,188,556,461	72,178,455,400
54	652	2,614,941,710,599	94,906,079,600

55から80
#	g_n	p_n	n
55	674	7,177,162,611,713	251,265,078,335
56	716	13,829,048,559,701	473,258,870,471
57	766	19,581,334,192,423	662,221,289,043
58	778	42,842,283,925,351	1,411,461,642,343
59	804	90,874,329,411,493	2,921,439,731,020
60	806	171,231,342,420,521	5,394,763,455,325
61	906	218,209,405,436,543	6,822,667,965,940
62	916	1,189,459,969,825,483	35,315,870,460,455
63	924	1,686,994,940,955,803	49,573,167,413,483
64	1,132	1,693,182,318,746,371	49,749,629,143,526
65	1,184	43,841,547,845,541,059	1,175,661,926,421,598
66	1,198	55,350,776,431,903,243	1,475,067,052,906,945
67	1,220	80,873,624,627,234,849	2,133,658,100,875,638
68	1,224	203,986,478,517,455,989	5,253,374,014,230,870
69	1,248	218,034,721,194,214,273	5,605,544,222,945,291
70	1,272	305,405,826,521,087,869	7,784,313,111,002,702
71	1,328	352,521,223,451,364,323	8,952,449,214,971,382
72	1,356	401,429,925,999,153,707	10,160,960,128,667,332
73	1,370	418,032,645,936,712,127	10,570,355,884,548,334
74	1,442	804,212,830,686,677,669	20,004,097,201,301,079
75	1,476	1,425,172,824,437,699,411	34,952,141,021,660,495
76	1,488	5,733,241,593,241,196,731	135,962,332,505,694,894
77	1,510	6,787,988,999,657,777,797	160,332,893,561,542,066
78	1,526	15,570,628,755,536,096,243	360,701,908,268,316,580
79	1,530	17,678,654,157,568,189,057	408,333,670,434,942,092
80	1,550	18,361,375,334,787,046,697	423,731,791,997,205,041

さらなる結果[編集]

上限[編集]

1852年に証明されたベルトランの仮説は、kと2kの間には必ず素数があり、よって特にp_n+1 < 2p_nであることは、g_n < p_nを意味するという内容である。

1896年に証明された素数定理は、十分大きい素数では素数pと次の素数との間の間隔の平均長は漸近的にln(p)に近づくという内容である。実際の間隔の長さはこれよりもずっと大きいことや小さいことがあるが、素数定理から素数の間隔の長さの上限を推論することができる。

すべての $\epsilon >0$ に対して、すべての $n>N$ で

g_{n}<p_{n}\epsilon

であるような数 $N$ がある。また、素数に比例して間隔が任意に小さくなることも推論できる。比

\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.

となる。グイド・ホハイゼル（英語版） (1930年) は

\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,

であるような定数θ < 1が存在することを初めて示し^[13]、それゆえ十分大きいnに対して

g_{n}<p_{n}^{\theta },\,

であることを示した。

ホハイゼルはθで可能な値32999/33000を得た。これはハンス・ハイルブロン（英語版）により249/250と改善され^[14]、ニコライ・チュダコフ（英語版）により任意のε > 0に対してθ = 3/4 + εとした^[15]。

主な進歩はアルバート・イングハムによる^[16]。彼はいくつかの正の定数cに対して

\zeta (1/2+it)=O(t^{c})\,

であるとき、任意の

\theta >(1+4c)/(2+4c)

に対して

\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}

と示した。ここでOはランダウの記号、ζはリーマンゼータ関数、πは素数計数関数である。任意のc > 1/6が許容されることが分かっていれば、θが5/8より大きい任意の数値であることが分かる。

イングハムの結果の直接の結果は、nが十分大きい場合、n³と(n + 1)³の間に必ず素数が存在するということである^[17]。アーンスト・リンデレフ（英語版）の仮説はイングハムの式がcの任意の正の数に対しても成り立つことを暗に示すが、十分大きいnに対してn²と(n + 1)²の間に素数が存在することを暗示するには十分ではないであろう（ルジャンドル予想参照）。

マーティン・ハクスリー（英語版）は1972年にθ = 7/12 = 0.58(3)を選択してもよいことを示した^[18]。

2001年のR.C.ベイカー、グリン・ハーマン、ヤノス・ピンツ（英語版）による結果では、θは0.525ととられる可能性があることを示した^[19]。

2005年、ダニエル・ゴールドストン（英語版）,ヤノス・ピンツ（英語版）, ジェム・ユルドゥルム（英語版）は

\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0

を証明し、2年後これを改良し^[20]、

\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .

とした。 2013年、張益唐は

\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},

を証明した。これは70 000 000を超えない間隔が無限にあるという意味である^[21]。張の境界を最適化するPolymathプロジェクトの共同作業により、2013年7月20日に境界を4680まで下げることに成功した^[22]。2013年11月、ジェームズ・メイナードはGPYふるいを新たに改善したものを導入し、境界を600まで下げ、任意のmについて、それぞれがm個の素数を含む解釈が無限である境界間隔が存在することを示した^[23]。メイナードの考えを用いて、Polymathプロジェクトは境界を246に改良した^[22]^[24]。エリオット・ハルバースタム予想（英語版）とその一般形を仮定すると、Nはそれぞれ12と6に減少される^[22]。

下限[編集]

1931年、エリック・ウェストジンティウスは極大の素数の間隔は対数的よりも大きくなることを証明した^[3]。

\limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .

である。1938年、ロバート・ランキン（英語版）は、無限に大きいnに対して

g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}

が成り立つ定数c > 0が存在することを示し、ウェストジンティウスとポール・エルデシュの結果を改良した。彼はのちに任意の定数c < e^γ（γはオイラーの定数）を取ることができることを示した。1997年に定数cの値は2e^γ以下の任意の値に改良された^[25]。

ポール・エルデシュは、上記の不等式の定数cが任意に大きく取れることの証明および反証に対して1万ドルの賞金を提供した^[26]。これは2014年にケビン・フォード（英語版）、ベン・グリーン、セルゲイ・コンヤギン（英語版）、テレンス・タオとジェームズ・メイナードにより独立に正しいことが証明された^[27]^[28]。

この結果はさらにフォード、グリーン、コンヤギン、テレンス・タオにより、無限に大きいnに対して

g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}

と改良された^[29]。

エルデシュの最初の賞の精神でテレンス・タオはこの不等式でcが任意に大きくとられる可能性があるという証明に対して1万ドルを提供した^[30]。

素数の連鎖の下限も決定されている^[31]。

素数の間隔の予想[編集]

リーマン予想のもとではさらに良い結果が得られる。ハラルド・クラメールはリーマン予想が、間隔g_nはランダウの記号を用いて

g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),

であることを暗示していることを証明した^[32]。のちに、この間隔はさらに小さいと予想した。おおまかに言うと、クラメールの予想は

g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).

という内容である。Firoozbakhtの予想は $p_{n}^{1/n}$ （ $p_{n}$ はn番目の素数）はnの厳密に減少する関数である。すなわち、

p_{n+1}^{1/(n+1)}<p_{n}^{1/n}{\text{ for all }}n\geq 1.

である。この予想が真である場合、関数 $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ は $g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}{\text{ for all }}n>4.$ を満たす^[33]。これはクラメールの予想の強い形を暗示しているが、GranvilleとPintzのヒューリスティックとは矛盾している^[34]^[35]^[36]。これは任意の $\varepsilon >0$ に対して $g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}$ が無限回起こる（ $\gamma$ はオイラーの定数）

その一方、Oppermannの予想はクラメールの予想より弱い。Oppermannの予想で予想される間隔は

g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.

のオーダーである。結果としてOppermannの予想の元では、全ての自然数 $n>m$ に対して $g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.$ を満たす $m$ （おそらく $m=30$ ）が存在する。

Oppermannの予想よりも弱いAndricaの予想は

g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.

という内容である^[37]。これは連続する平方数の間には素数が必ずあるというルジャンドル予想よりは少し強い。

Polignacの予想は、全ての正の偶数kが無限の頻度で素数の間隔として生じるという内容である。k = 2の場合は双子素数予想である。この予想は特定のkの値についてはまだ証明されておらず、反証もされていないが、張益唐の結果は少なくとも1つ（現在のところ未知）の7千万より小さいkの値については真であることが証明されている。上で議論されたように、この上限は246に改良された。

数論的関数として[編集]

n番目の素数と(n+1)番目の素数の間の間隔g_nは数論的関数の1例である。この文脈では通常d_nで表され、素数差分関数(prime difference function)と呼ばれる^[37]。この関数は乗法的関数でも加法的関数でもない。

脚注[編集]

^ "Hidden structure in the randomness of the prime number sequence?", S. Ares & M. Castro, 2005
^ オンライン整数列大辞典の数列 A001223
^ ^a ^b Westzynthius, E. (1931), “Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind” (ドイツ語), Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors 5: 1-37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 .
^ “Some Results of Research in Computational Number Theory (NEW LARGEST KNOWN PRIME GAP)”. 2021年10月27日閲覧。
^ “The Top-20 Prime Gaps”. 2014年6月13日閲覧。
^ “A proven prime gap of 1113106”. 2021年10月27日閲覧。
^ ^a ^b ^c NEW PRIME GAP OF MAXIMUM KNOWN MERIT
^ Dynamic prime gap statistics
^ TABLES OF PRIME GAPS
^ 他の記録はA111943で見ることができる。
^ NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550
^ 他の記録はA005250にあり、A002386の対応する素数p_nとA005669のnの値とともに見ることができる。
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外部リンク[編集]

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[11] NEW MAXIMAL PRIME GAPS OF 1530 AND 1550

[12] 他の記録はA005250にあり、A002386の対応する素数p_nとA005669のnの値とともに見ることができる。

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表話編歴素数の分類
生成式	フェルマー ( $2 2 n + 1$ ) メルセンヌ ( $2 p - 1$ ) 二重メルセンヌ ( $2 2 p -1 - 1$ ) ワグスタッフ ( $(2 p + 1)/3$ ) プロス ( $k \cdot2 n + 1$ ) 階乗 ( $n! \pm 1$ ) 素数階乗 ( $p n # \pm 1$ ) ユークリッド ( $p n # + 1$ ) ピタゴラス ( $4 n + 1$ ) ピアポント ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan（英語版） ( $x 4 + y 4$ ) ソリナス（英語版） ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) カレン ( $n \cdot2 n + 1$ ) ウッダル ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban（英語版） ( $(x 3 - y 3)/(x - y)$ ) キャロル ( $(2 n - 1) 2 - 2$ ) Kynea ( $(2 n + 1) 2 - 2$ ) レイランド ( $x y + y x$ ) サービト（英語版） ( $3\cdot2 n - 1$ ) ミルズ ( $[A] 3 n$ )
漸化式（英語版）	フィボナッチリュカペルニューマン–シャンクス–ウィリアムズペラン分割ベルモツキン
各種の性質	ヴィーフェリッヒ（英語版） (対（英語版）) ウォール–孫–孫（英語版）ウォルステンホルムウィルソン幸運フォーチュンラマヌジャン（英語版）ピライ正則強（英語版）スターン Supersingular (楕円曲線)（英語版） Supersingular (ムーンシャイン理論)（英語版）良いスーパーヒッグス（英語版）高度コトーティエント（英語版）
基数依存	ハッピー二面（英語版）回文エマープレピュニット ( $(10 n - 1)/9$ ) 置換可能 Circular（英語版）切り捨て可能 Strobogrammatic（英語版） Minimal（英語版）弱いフルサイクルプライム Unique（英語版） Primeval（英語版）自己スマランダチェ–ウェラン（英語版）
組	互いに素双子 ( $p, p + 2$ ) Bi-twin chain ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) 三つ子 ( $p, p + 2$ or $p + 4, p + 6$ ) 四つ子 ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) k−Tuple いとこ ( $p, p + 4$ ) セクシー ( $p, p + 6$ ) 陳ソフィー・ジェルマン ( $p, 2 p + 1$ ) カニンガム鎖 ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) 安全 ( $p, (p - 1)/2$ ) 算術数列（英語版） ( $p + an; n = 0, 1, \dots$ ) 平衡 ( $p - n, p, p + n$ )
桁数	タイタニック ( $103$ 桁以上) 巨大 ( $104$ 桁以上) メガ ( $106$ 桁以上)
複素数	アイゼンシュタイン素数（英語版）ガウス素数
合成数	擬素数概素数半素数楔数 Interprime（英語版）
関連する話題	確率的素数 Industrial-grade prime（英語版）違法素数素数の公式（英語版）素数の間隔『巨大な素数の一覧』
最初の50個	$2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$ $61$ $67$ $71$ $73$ $79$ $83$ $89$ $97$ $101$ $103$ $107$ $109$ $113$ $127$ $131$ $137$ $139$ $149$ $151$ $157$ $163$ $167$ $173$ $179$ $181$ $191$ $193$ $197$ $199$ $211$ $223$ $227$ $229$
素数の一覧