加法的関数

数学における加法的関数（かほうてきかんすう、英: additive function）には、用いられる分野によって異なる二つの意味が存在する。

代数学の分野における加法的関数（あるいは加法的写像）とは、加法保存性

f(x + y) = f(x) + f(y)

を、定義域内の任意の二つの元 x および y に対して満たすような関数 f のことを言う。例えば、任意の線型写像は加法的である。定義域が実数空間である場合、上の式はコーシーの関数方程式である。

数論の分野における加法的関数とは、正の整数 n についての数論的関数 f(n) であって、任意の互いに素な a と b に対し、その積の関数と、その関数の積が等しいようなもの、すなわち

f(ab) = f(a) + f(b).

を満たすようなもののことを言う。

この記事の残りの部分では、上述の第二の定義である、数論における加法的関数について扱う。第一の定義の特別な場合については加法的多項式を参照されたい。アーベル群の間の任意の準同型 f は、第一の定義において加法的であることに注意されたい。

完全加法的

加法的関数 f(n) が完全加法的（completely additive）であるとは、すべての（互いに素でない場合も含む）正の整数 a と b に対して f(ab) = f(a) + f(b) が成立することを言う。完全乗法的関数（totally multiplicative）と同様に、Totally additive という語が用いられることもある。f が完全加法的関数であるなら、f(1) = 0 である。

すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は一般には成立しない。

例

完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：

• 対数関数の自然数 N への制限。

• 素因数 p の n における重複度（multiplicity）、すなわち n を割り切るような p^m の最大のべき指数 m 。

• a₀(n)： n の素因数の（重複も含めた）和。しばしば n のポテンシー（potency） sopfr(n) あるいは n の整対数（integer logarithm）と呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A001414）。例：

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(2² · 5) = 2 + 2+ 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀(144) = a₀(2⁴ · 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2,000) = a₀(2⁴ · 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2,003) = 2003

a₀(54,032,858,972,279) = 1240658

a₀(54,032,858,972,302) = 1780417

a₀(20,802,650,704,327,415) = 1240681

• Ω(n)： n の素因数の（重複も含めた）総数。大オメガ関数（big omega function）とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A001222）。例：

Ω(1) = 0, since 1 has no prime factors

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(4) = 2

Ω(27) = 3

Ω(144) = Ω(2⁴ · 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6

Ω(2,000) = Ω(2⁴ · 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7

Ω(2,001) = 3

Ω(2,002) = 4

Ω(2,003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = 3

Ω(54,032,858,972,302) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = 7

続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：

• ω(n)： n の「異なる」素因数の総数（オンライン整数列大辞典の数列 A001221）。例:

ω(4) = 1

ω(20) = ω(2²·5) = 2

ω(27) = 1

ω(144) = ω(2⁴ · 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2,000) = ω(2⁴ · 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2,001) = 3

ω(2,002) = 4

ω(2,003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a₁(n)： n の素因数の「区別された」和。sopf(n) とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A008472）。例：

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(2⁴ · 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2,000) = a₁(2⁴ · 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2,001) = 55

a₁(2,002) = 33

a₁(2,003) = 2003

a₁(54,032,858,972,279) = 1238665

a₁(54,032,858,972,302) = 1780410

a₁(20,802,650,704,327,415) = 1238677

乗法的関数

任意の加法的関数 f(n) を用いて、乗法的関数 g(n)、すなわち、互いに素な a と b に対して

g(ab) = g(a) × g(b).

を満たすような関数 g(n) を作ることは簡単である。例えば、g(n) = 2^f(n) が挙げられる。

関連項目

• シグマ加法性

参考文献

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)