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正四面体(せいしめんたい、せいよんめんたい、regular tetrahedron)は、4枚の合同な正三角形を面とする四面体である。
最も頂点・辺・面の数が少ない正多面体であり、最も頂点・辺・面の数が少ないデルタ多面体であり、アルキメデスの正三角錐である。また、3次元の正単体である。
なお一般に、n 面体のトポロジーは一定しないが、四面体だけは1種類のトポロジーしかない。つまり、四面体は全て、正四面体と同相であり、正四面体の辺を伸ばしたり縮めたりしたものである。
性質
- シュレーフリ記号は {3,3}。
- 面の数は4、辺の数は6、頂点の数は4。これらは全て多面体で最少である。
- 自らと双対である(自己双対多面体)。
- 対角線は存在しない。
- ペトリー多角形は正方形である。
- 立方体 (±1, ±1, ±1) の4つの頂点 (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,1,-1), (-1,-1,1) を結べば、正四面体になる。
- 正四面体の辺の中点を結べば、正八面体になる。このとき4個の正四面体ができる。逆に正八面体の互い違いの4面を延長すると、正四面体になる。
- 展開図は2通りあり、一方は正三角形、もう一方は平行四辺形になる。
対称性
対称性は、
- 中心と頂点を通る直線について3回対称
- 中心と辺の中点を通る直線について4回反対称、したがって線対称(2回対称)
- 中心と辺を通る面について面対称
などである。
計量
辺の長さを とする。
面の面積
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表面積
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高さ
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体積
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辺と面のなす角
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二面角
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中心と頂点を結ぶ直線のなす角
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頂点の立体角
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外接球(頂点を通る球)の半径
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内接球(面と接する球)の半径
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中接球(辺と接する球)の半径
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傍接球の半径
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頂点から傍心(傍接球の中心)までの距離
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正四面体から作られる図形
外部リンク
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