運動量

運動量 momentum
量記号	p
次元	M L T−1
種類	ベクトル
SI単位	ニュートン秒 (N·s), グローバー (G)
CGS単位	ダイン秒 (dyn·s)
プランク単位	プランク運動量

古典力学

$\boldsymbol{F} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m \boldsymbol{v})$ 運動の第2法則

歴史

分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 準拠枠 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

運動量（うんどうりょう、英: momentum）とは、物体の運動の状態をあらわす物理量で、初等的には質量と速度の積として定義される。

物理学では位置の正準共役量であり、速度よりも基本的な量として用いられる。ニュートンはこの量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則として提示した。日常生活においては、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな力積が必要になる。

概要

運動量は、運動の第2法則において、その時間変化が力と等しい量として導入される。 つまり、運動量 p はニュートンの運動方程式

$\frac{d\boldsymbol{p}}{dt} =\boldsymbol{F}(t)$

を満たす。力 F はベクトル量であり、運動量もまたベクトル量となる。定義から明らかなように、運動量は時刻 t の関数として表される量である。

質点の運動量はその速度に比例する。質点の速度 v とすれば

$\boldsymbol{p} =m\boldsymbol{v}$

である。ここで導入された比例係数 m は慣性質量と呼ばれる。

時間的な変化

詳細は「力積」を参照

時刻 t₀ から t₁ の間に力 F を受けた物体の運動量の変化は、運動方程式から

$\Delta \boldsymbol{p} =\boldsymbol{p}(t_1)-\boldsymbol{p}(t_0) =\int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{F}(t)\, dt$

となる。 十分に短い時間 Δt の間に作用する力による運動量の変化は

$\Delta\boldsymbol{p} = \boldsymbol{F}\, \Delta t$

となる。これを力積と呼ぶ。力積とは力とその力が作用する時間を掛けた量である。 つまり、同じ力で運動量の変化を大きくするには、力が作用する時間を長くすればよいことがわかる。このことは、野球でバッターが飛距離を伸ばすための打法の工夫などに利用される。

質点系の運動

運動量は加法的な量であり、系の全運動量は部分の運動量の和で表される。

質点系の全運動量 P は、質点 i の運動量 p_i=m_iv_i=m_idr_i/dt とすれば

$\boldsymbol{P}(t) =\sum_i \boldsymbol{p}_i(t) =\sum_i m_i\, \frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt} =\frac{d}{dt} \left( \sum_i m_i\, \boldsymbol{r}_i(t) \right)$

となる。 ここで質点系の全質量 M と質量中心 r_g を

$M =\sum_i m_i,~ \boldsymbol{r}_g(t) =\frac{1}{M} \sum_i m_i\, \boldsymbol{r}_i(t)$

により導入すれば

$\boldsymbol{P}(t) =M\frac{d\boldsymbol{r}_g}{dt}$

となる。 即ち、質点系の全運動量は、質量中心に全質量が集中していると考えたときの運動量に等しい。

質点 i の運動量 p_i の時間変化は、質点 i に作用する力 F_i に等しく

$\frac{d\boldsymbol{p}_i}{dt} =\boldsymbol{F}_i$

を満たす。 ここで質点 i に作用する力は、質点系の外部から作用する外力と、系に含まれる他の質点との内部相互作用に分けられる。 質点 i に作用する外力を f_i、質点 j から質点 i に作用する内力を f_ij とすれば

$\boldsymbol{F}_i =\boldsymbol{f}_i +\sum_j \boldsymbol{f}_{ij}$

と表される。 ただし、質点 i から質点 i 自身に作用する力は f_ii=0 とする。 全運動量の時間変化を考えると

$\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\sum_i \frac{d\boldsymbol{p}_i}{dt} =\sum_i \boldsymbol{f}_i +\sum_{i,j} \boldsymbol{f}_{ij}$

となる。 ここで運動の第3法則から、質点 j から質点 i に作用する力 f_ij と 質点 i から質点 j に作用する力 f_ji は大きさが等しく符号が逆なので

$\boldsymbol{f}_{ij} =-\boldsymbol{f}_{ji},~ \boldsymbol{f}_{ij} +\boldsymbol{f}_{ji} =0$

が成り立ち、内力を全て足し合わせたものは0となる。 従って

$\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =M\frac{d^2\boldsymbol{r}_g}{dt^2} =\sum_i \boldsymbol{f}_i$

となり、質点系の全運動量の時間変化は作用する外力の総和と等しい。 これは、重力などの単純な外力の下では質量中心の運動が相対位置の運動から分離できることを意味している。

保存則

詳細は「運動量保存の法則」を参照

質点系の運動において、特に作用する外力が釣り合っている場合は

$\frac{d\boldsymbol{P}}{dt} =\frac{d}{dt} \left( \sum_i\boldsymbol{p}_i(t) \right) =0$

$\boldsymbol{P}(t) =\sum_i\boldsymbol{p}_i(t) =\text{const.}$

が成り立つ。 つまり、この系では系の全運動量は時間的に変化しない。 これは運動量保存の法則と呼ばれる.

モーメント

運動量のモーメントを角運動量と呼ばれ、次で定義される。

$\boldsymbol{L} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p}$

角運動量はニュートンの運動方程式と同様な

$\frac{d\boldsymbol{L}}{dt} = \boldsymbol{N}$

を満たす。ここで、 $\boldsymbol{N} \equiv \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}$ は物体に作用する力のモーメントである。

詳細は「角運動量」を参照

解析力学における運動量

解析力学において、一般化座標 $q_i$ に対応する一般化運動量 $p_i$ は以下で定義される。

$p_i \equiv \frac{\part L(q,\dot{q})}{\part\dot{q}_i}$

ここで、$L(q,\dot{q})$ はラグランジアンであり、運動エネルギー $K$、ポテンシャル $U$ とすると、

$L=K-U$

である。 三次元デカルト座標 $\boldsymbol{x} = (x,y,z)$ においては、ポテンシャルが速度（位置の微分）に依存しないときには

$L(\boldsymbol{x}, \dot{\boldsymbol{x}}) = \frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2) -U(\boldsymbol{x})$

$p_x = \frac{\part L}{\part\dot{x}} = m\dot{x}$

$p_y = m\dot{y},~ p_z = m\dot{z}$

であり、質量と速度の積となっている。

一般化座標として二次元極座標 $\boldsymbol{x} = (r,\theta)$ を選ぶと、ラグランジアン及び $r, \theta$ に共役な運動量はそれぞれ

$L(r,\theta,\dot{r},\dot{\theta}) = \frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2) -U(\boldsymbol{x})$

$p_r = \frac{\part L}{\part\dot{r}} = m\dot{r}$

$p_\theta = \frac{\part L}{\part\dot{\theta}} = mr^2\dot{\theta}$

となる。ここで、$r$ に共役な運動量は質量と速度の積の普通の運動量であるが、$\theta$ に共役な運動量は角運動量となっている。

ポテンシャルが速度に依存するときもある。例えば電磁場が存在し、物体と相互作用がある場合である。 ラグランジアンは具体的に

$L(\boldsymbol{x},\boldsymbol{v}) = \frac{m}{2}\boldsymbol{v}^2 - e\phi(\boldsymbol{x}) + e\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})$

である。ここで $e$ は物体の持つ電荷、$\phi$ はスカラーポテンシャル、$\boldsymbol{A}$ はベクトルポテンシャルである。このとき、共役運動量は

$\boldsymbol{p} = m\boldsymbol{v} + e\boldsymbol{A}$

となる。 このときの共役運動量は質量と速度の積の普通の運動量に、電磁場との相互作用による $e\boldsymbol{A}$ の項が加わる。

ルジャンドル変換によりハミルトン力学へ移ると、運動量は力学変数となる。ハミルトン力学では運動量は座標とともに正準変数として重要な働きをする。

「ハミルトン力学」も参照

相対性理論

相対性理論において運動量とエネルギーはミンコフスキー空間における四元ベクトルを為し、

$p^\mu = m \frac{dx^\mu}{d\tau}$

（$\,m$ は質量、$\,\tau$は固有時間）である。これの空間成分は

$p_j = m \frac{dx_j}{dt}\frac{dt}{d\tau} = \frac{mv_j}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}$

となる。非相対論的極限（$v/c \to 0$）において前述の運動量（質量と速度の積）に一致する。

運動量とエネルギーは

$-m^2 c^2 = -\frac{E^2}{c^2} + \vec{p}^2$

の関係を満たしている。運動量が$\,0$の場合は有名な $\,E=mc^2$ の式になっている。

量子論

光（あるいは電磁波）は波であるが、実験によりエネルギーと運動量を持つ粒子でもあると考えられている。 そのエネルギーと運動量は

$E = h\nu = \hbar\omega$

$p = \frac{h\nu}{c} = \frac{h}{\lambda} = \hbar k$

である。（ここで $\,h$ はプランク定数、$\,\nu$ は振動数、$\,\omega$ は角振動数、$\,c$ は光速、$\,\lambda$ は波長、$\,k$ は波数である）

前述のエネルギーと運動量の関係式にこの関係を入れると、$\,\omega=ck$ からこの粒子の質量は $\,0$ であることが分かる。この質量 $\,0$ の粒子を光子という。

量子力学では、上記の古典論的運動量 $\vec{p}$ は、波動関数 $\psi(t,\vec{x}) = \psi(t, x, y, z)$ に対する、

$\vec{p} \rightarrow \frac{\hbar}{i}\vec{\nabla} = \left( \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial y}, \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial z} \right)$

という演算子であるとみなされる。ここに、$\,i$ は虚数単位、$\,\nabla$はナブラである。

或いはエネルギーとまとめて四元ベクトルで表すと、

$p_\mu \rightarrow \frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x^\mu}$

である。これらは対応原理と呼ばれ、解析力学における作用積分 $\,S$ の汎関数微分が

$\frac{\delta S}{\delta x^\mu} = p_\mu$

であることなどから類推された。

また、正準量子化という方法によれば、位置と運動量は正準交換関係

$[x^\mu,p_\nu]=i\hbar \delta^\mu_\nu$

$[x^\mu,x^\nu]=0 \, ,\, [p_\mu,p_\nu]=0$

を満たす物理量として量子化される。

対称性との関係

運動量は空間の一様性（並進対称性）に対応する保存量である。 時間の一様性に対応するエネルギー、空間の等方性に対応する角運動量とともに、基本的な物理量である。

「ネーターの定理」および「ポアンカレ対称性」も参照

参考文献

• 松田哲　『力学』　丸善〈パリティ物理学コース〉、1993年。
• L.D.ランダウ・E.M.リフシッツ　『力学・場の理論 : ランダウ=リフシッツ物理学小教程』　水戸巌・恒藤敏彦・廣重徹訳、筑摩書房〈ちくま学芸文庫〉、2008年。ISBN 978-4-480-09111-6。

関連項目

• 運動量保存の法則
• 角運動量
• 慣性
• 加速度