力のモーメント

古典力学

${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動の第2法則

歴史

分野 静力学 · 動力学 / 物理学における動力学 · 運動学 · 応用力学 · 天体力学 · 連続体力学 · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 力学的仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 剛体の力学 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転運動 · 等速円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 アイザック・ニュートン · エレミア・ホロックス · レオンハルト・オイラー · ジャン・ル・ロン・ダランベール · アレクシス・クレロー · ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ · ピエール＝シモン・ラプラス · ウィリアム・ローワン・ハミルトン · シメオン・ドニ・ポアソン

力のモーメント moment of force
量記号	N
次元	M L2 T−2
SI単位	ニュートンメートル

力のモーメント（ちからのモーメント、英語: moment of force）とは、力学において、物体に回転を生じさせるような力の性質を表す量である。力の能率（ちからののうりつ）とも呼ばれる。また、明らかな場合は単にモーメントと呼ばれることもある。とくに機械などで固定された回転軸をもつ場合、その回転軸のまわりの力のモーメントをトルク（torque）またはねじりモーメントと呼ぶ。 単位として通常はニュートンメートル（N m）が用いられる。

概要

物体に2つの力が作用するとき、2つの力が釣り合う条件は

1. 2つの力の大きさが等しい
2. 2つの力の方向が反対
3. 2つの力の作用線が一致する

1番目と2番目の条件は、力をベクトルとして表したとき、力のベクトル和がゼロと表される。 3番目の条件は、力のモーメントを導入することで、モーメントの和がゼロと表される。

2つの力の作用線が一致していないとき、つまり、力のモーメントの和がゼロでないとき、物体は作用線を一致させるように回転する。 言い換えれば、力のモーメントは物体を回転させるような力の性質である。 物体を回転させるために必要な力の大きさは、力が作用する位置によって異なり、回転中心からの作用線の距離に反比例する（てこの原理）。 力のモーメントを作用線の距離に比例するように定義することで、等しい力のモーメントに対して物体は同じように回転する。 従って、力のモーメントは一次のモーメントである。

物体に3つ以上の力が作用するとき、それらの力が釣り合う条件は、力のベクトル和とモーメントの和がそれぞれにゼロとなることである。 力のベクトル和がゼロであるが、モーメントがゼロでないような力はとくに偶力と呼ばれる。 一般に、力のモーメントは中心をどこに選ぶかによって変わる。 しかし、作用する力のベクトルの和がゼロであるときは中心の選び方によらない。 つまり、釣り合い条件はモーメントの中心の選び方によらない。 また、偶力はモーメントの中心の選び方によらない。

物体に作用する2つの力の系で、力のベクトルの和とモーメントの和がそれぞれに等しいとき、それらは等価である。 変形が無視できる剛体に作用する等価な力の系は同等で、それぞれ置き換えることができる。 特に、一点に集中して作用する力と偶力の系に置き換えることができる。

定義

適当な点 P のまわりの力のモーメントは、力を F、力の作用点の点 P からの位置を r とすれば

${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$

で定義される。ここで × はベクトル積である。従って、力のモーメントの大きさは

$N=rF\sin \theta$$N=rF\sin \theta$

となる。ここで θ は F と r のなす角である。作用線の点 P からの距離を d とすれば、d = rsinθ であり、N = Fd となる。また、力のモーメントは作用線と点 P を含む平面と直交し、向きはフレミングの右手の法則で定まる。従って、大きさが等しい力で、作用点が同一の作用線上にあれば、それらの力のモーメントは等しい。 これはベクトルの計算によっても導くことができる。作用線に沿って作用点の位置を r' = r + a と移動したとき、力のモーメントは

${\boldsymbol {N}}'={\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {N}}+{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {F}}$${\boldsymbol {N}}'={\boldsymbol {r}}'\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {N}}+{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {F}}$

となる。しかし、作用線に沿って動かしているので a は F と平行で、第二項はゼロとなり力のモーメントは変化しない。

モーメント中心の移動

力のモーメントは、どの点のまわりで考えるかによって変化する。物体に複数の力が作用しているとき、その物体に作用する力のモーメントは全ての力のモーメントのベクトルとしての和となるが、和をとる場合には同じ点のまわりのモーメントを考える必要がある。

点 P から位置ベクトル q で表される点 Q を考える。 点 Q のまわりのモーメントは

${\boldsymbol {N}}_{\text{Q}}=\sum _{i}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}})\times {\boldsymbol {F}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}={\boldsymbol {N}}_{\text{P}}-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}$${\boldsymbol {N}}_{{\text{Q}}}=\sum _{i}({\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {q}})\times {\boldsymbol {F}}_{i}=\sum _{i}{\boldsymbol {r}}_{i}\times {\boldsymbol {F}}_{i}-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}={\boldsymbol {N}}_{{\text{P}}}-{\boldsymbol {q}}\times \sum _{i}{\boldsymbol {F}}_{i}$

となる。モーメント中心の移動によるモーメントの変化量は、中心の移動量と、作用する力のベクトル和によって定まる。特に、作用する力のベクトル和がゼロならば、モーメントは中心の選び方によらない。

運動方程式

物体の慣性モーメント I、角加速度 α、力のモーメント N のあいだには、ニュートンの運動方程式とよく似た関係が成り立つ。

$I{\boldsymbol {\alpha }}={\boldsymbol {N}}.$$I{\boldsymbol {\alpha }}={\boldsymbol {N}}.$

回転運動と直線運動

回転運動に関する量のあいだには、直線運動で成り立つ法則に対応する類似の法則を見出すことができる。というよりも法則が似るように回転運動での量を定義したのである。したがってトルクは力ではなく力のモーメントであり、慣性モーメントは質量に距離の2乗をかけたものである。対応する量は次元からみて別のものであることに注意する必要がある。

回転運動と並進運動の対応一覧

量	回転運動		並進運動
力学変数	角度	${\boldsymbol {\theta }}$${\boldsymbol {\theta }}$	位置	${\boldsymbol {r}}$${\boldsymbol {r}}$
一階微分	角速度	${\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$${\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}$	速度	${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$${\boldsymbol {v}}={\frac {d{\boldsymbol {r}}}{dt}}$
二階微分	角加速度	${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}$	加速度	${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$${\boldsymbol {a}}={\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}$
慣性	慣性モーメント	$I$$I$	質量	$m$$m$
運動量	角運動量	${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$	運動量	${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}$
力	力のモーメント	${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$${\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}$	力	${\boldsymbol {F}}$$\boldsymbol{F}$
運動方程式	${\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}$${\frac {d{\boldsymbol {L}}}{dt}}={\boldsymbol {N}}$		${\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}$${\frac {d{\boldsymbol {p}}}{dt}}={\boldsymbol {F}}$
運動エネルギー	${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$${\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$		${\frac {1}{2}}mv^{2}$${\frac {1}{2}}mv^{2}$
仕事	${\boldsymbol {N}}\cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}$${\boldsymbol {N}}\cdot \Delta {\boldsymbol {\theta }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}$${\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {r}}$
仕事率	${\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$${\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}$		${\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$${\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {v}}$
ダンパーとばねに発生する力を 考慮した運動方程式	$I\alpha +c\omega +k\theta =N$$I\alpha +c\omega +k\theta =N$		$ma+cv+kx=F$$ma+cv+kx=F$

関連項目

• 加速度
• 慣性計測装置