運動エネルギー

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古典力学
歴史

運動エネルギー(うんどうエネルギー、英語: kinetic energy)は、物体運動に伴うエネルギーである。物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語κίνησις(kinesis)に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。

歴史[編集]

後述する一般的説明がなされる以前にも、ガリレオ・ガリレイによって、物体の振り子運動の観察により、

2gh = v^2

という関係が発見されていた。ここでv は物体の速さ、h は物体の基準点からの高さ、g 重力加速度である。

質点の運動エネルギー[編集]

ニュートン力学において、物体の運動エネルギーは、物体の質量速さの二乗に比例する。 つまり、速度 v で運動する質量 m の物体の運動エネルギー K は

K =\frac{1}{2}m\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}
 =\frac{1}{2}mv^2

で与えられる[注 1]

ニュートンの運動方程式

m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt} = \boldsymbol{F}(t)

と表されているとき、この力 F が時刻 t0 から t1 の間に為す仕事 W_{t_0\to t_1}

 \begin{align}
W_{t_0\to t_1} &= \int_{t_0}^{t_1} \left( \boldsymbol{F}(t)
 \cdot\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} \right) dt \\
 &= \int_{t_0}^{t_1} \left( m\frac{d\boldsymbol{v}}{dt}
 \cdot \boldsymbol{v}(t) \right) dt \\
 &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}m
 \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} \right) dt \\
 &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{dK}{dt}\, dt \\
 &= K(t_1) -K(t_0)
\end{align}

となる。 従って、物体の運動エネルギーの変化量は、その物体に加えられた仕事に等しい

特に物体に一定の力 F が加えられ、物体の位置が  \boldsymbol{x} から \boldsymbol{x}+\Delta \boldsymbol{x} まで、\Delta \boldsymbol{x} だけ変化したとき、

\frac{1}{2}mv^2(t_1) - \frac{1}{2}mv^2(t_0)
 = \boldsymbol{F}\cdot\Delta\boldsymbol{x}

という等式が成り立つ。例えば物体が地表付近で自由落下する場合、重力加速度は一定と見なせるので、上記の等式が利用できる。 また、力F を物体の質量m と加速度 α の積で置き換えれば、等式は物体の質量に依存しない形に書き直される。

v^2(t_1) - v^2(t_0)
 = 2\boldsymbol{\alpha}\cdot\Delta\boldsymbol{x}.

回転運動の運動エネルギー[編集]

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、慣性モーメント I角速度 ω の2乗に比例する。であるから

K = \frac{1}{2}I \omega^2

解析力学における運動エネルギー[編集]

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー Kポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

L(q,\dot{q};t)=K(\dot{q})-V(q)

この際、ラグランジアンの変数一般化座標 q(t) とその時間微分 \dot{q}(t)、及び時刻 t である。 多くの場合、一般化座標として位置 x や 回転角 \theta とするので、運動エネルギーは

K=\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2+\sum_j \frac{1}{2}I_i\omega_j^2

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

H(q,p;t)=\sum p\dot{q}-L

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 q(t) と一般化運動量 p(t) である。元のラグランジアンでポテンシャルが \dot{q}(t) に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

p_i(t)=\frac{\partial L}{\partial v_i}=m_iv_i
l_j(t)=\frac{\partial L}{\partial \omega_j}=I_j\omega_j

( l は回転角度 θ に共役な角運動量)となり、運動エネルギーは

K=\sum_i\frac{1}{2m_i}p_i^2+\sum_j\frac{1}{2I_j}l_j^2

となる。

脚注[編集]

  1. ^ v は速度 v の大きさを表す。

参考文献[編集]


関連項目[編集]