運動エネルギー

古典力学
${\boldsymbol {F}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m{\boldsymbol {v}})$ 運動の第2法則
歴史
分野 静力学  · 動力学 / 物理学における動力学  · 運動学  · 応用力学  · 天体力学  · 連続体力学  · 統計力学 定式化 ニュートン力学 解析力学: ラグランジュ力学 ハミルトン力学 基本概念 空間 · 時間 · 速度 · 速さ · 質量 · 加速度 · 重力 · 力 · 力積 · トルク / モーメント / 偶力 · 運動量 · 角運動量 · 慣性 · 慣性モーメント · 基準系 · エネルギー · 運動エネルギー · 位置エネルギー · 仕事 · 仮想仕事 · ダランベールの原理 主要項目 剛体 · 運動 · ニュートン力学 · 万有引力 · 運動方程式 · 慣性系 · 非慣性系 · 回転座標系 · 慣性力 · 平面粒子運動力学 · 変位 · 相対速度 · 摩擦 · 単振動 · 調和振動子 · 短周期振動 · 減衰 · 減衰比 · 自転 · 回転 · 円運動 · 非等速円運動 · 向心力 · 遠心力 · 遠心力 (回転座標系) · 反応遠心力 · コリオリの力 · 振り子 · 回転速度 · 角加速度 · 角速度 · 角周波数 · 偏位角度 科学者 ニュートン · ケプラー · ホロックス · オイラー · ダランベール · クレロー · ラグランジュ · ラプラス · ハミルトン · ポアソン

運動エネルギー（うんどうエネルギー、（英: kinetic energy）は、物体の運動に伴うエネルギーである。

運動エネルギーは物体の速度を変化させる際に必要な仕事である。英語の kinetic は、「運動」を意味するギリシア語の κίνησις（kinesis）に由来する。この用語は1850年頃ウィリアム・トムソンによって初めて用いられた。

質点の運動エネルギー

質点の運動において、質点の運動エネルギーは速度の二乗と質量の積を $2$ で割ったものである（⇒ #質点での定義）。質点の運動エネルギーの変化量は力が質点に対して行った仕事に等しい（⇒ #質点での特性）。

質点での定義

時刻を $t$、質点の質量・速度・速さを $m,\ {\boldsymbol {v}}(t),\ v(t)$ とする。質点の運動エネルギー $K(t)$ は、

$K(t)={\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

で定義される。単位はジュール $\mathrm {J}$ である（$\textstyle \mathrm {kg} \times \mathrm {({\frac {m}{s}})^{2}} =\mathrm {kg} \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \times \mathrm {m} =\mathrm {N} \times \mathrm {m} =\mathrm {J}$）。

質点での特性

非負スカラー

運動エネルギーは非負のスカラーである。これは定義より明らかである。

変化量が仕事

点 $\mathrm {A}$ から点 $\mathrm {B}$ までの間に力 ${\boldsymbol {F}}(t)$ が質点に対して行った仕事を $W_{\mathrm {AB} }$ とする。仕事を力と無限小変位 $d{\boldsymbol {r}}$ のドット積の積分で表現したうえで、ニュートンの運動方程式を利用すると、

$W_{\mathrm {AB} }=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }{\boldsymbol {F}}\cdot d{\boldsymbol {r}}=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }m{\frac {d{\boldsymbol {v}}}{dt}}\cdot {\boldsymbol {v}}\,dt=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }m{\boldsymbol {v}}\cdot d{\boldsymbol {v}}=\left[{\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {v}}^{2}\right]_{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }=K_{\mathrm {B} }-K_{\mathrm {A} }$

が成立する。すなわち、質点の運動エネルギーの変化量 $K_{\mathrm {B} }-K_{\mathrm {A} }$ は作用した力の仕事 $W_{\mathrm {AB} }$ に等しい。これは仕事と運動エネルギーの定理とも呼ばれる。別の見方をすれば「速さに貢献した力の成分を経路に沿って積算した値」が運動エネルギーの変化量である。

停止力で割ると制動距離

進行方向と正反対に一定の力を加えたとき、運動エネルギーをその力の大きさで割ると制動距離になる。

速さ $v_{0}$ で質量 $m$ の質点に、大きさ $F$ で進行方向と正反対の力を時刻 $t\geq 0$ にて作用させる。進行方向に $x$ 軸をとり $t=0$ での位置を原点とすると、加速度が $F/m$ なので質点は $t_{s}:=mv_{0}/F$ に停止する。運動方程式を解いて $t_{s}$ を代入すると、停止位置が $\textstyle x_{s}={\frac {1}{F}}{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}=K/F$ となる。つまり停止させる力の大きさで運動エネルギーを割ると制動距離がわかる。なお、仕事と運動エネルギーの定理よりこれはほぼ自明である（$\textstyle W_{0\rightarrow x_{s}}=-Fx_{s}=0-K$）。

物体を垂直に投げ上げたときの頂点高度はこれを利用して求められる。

力学的エネルギー保存則

→詳細は「力学的エネルギー保存則」を参照

質点に保存力のみが働くあるいは保存力以外の力が仕事をしないとき、質点の位置エネルギーと運動エネルギー $U$ の和すなわち力学的エネルギーは常に保存される。保存場において質点の加速は位置エネルギーから運動エネルギーへの等価変換であり、質点の減速は運動エネルギーから位置エネルギーへの等価変換になる。

質点系の運動エネルギー

質点系の運動において、質点系の全運動エネルギー $K(t)$ は各質点の運動エネルギーの総和である（⇒ #質点系での定義）。$K(t)$ は非負スカラー量であり、重心運動に由来する成分と相対運動に由来する成分に分離できる（⇒ #質点系での特性）。

質点系での定義

質点系をなす質点の集合を $\mathrm {N}$、質点 $i\in \mathrm {N}$ の質量を $m_{i}$、速度を ${\boldsymbol {v}}_{i}$、運動エネルギーを $K_{i}(t)$ とする。質点系の全運動エネルギー（ぜんうんどうエネルギー、（英: total kinetic energy）$K(t)$ は、

$K(t)=\sum _{i\in \mathrm {N} }K_{i}(t)=\sum _{i\in \mathrm {N} }{\frac {1}{2}}m_{i}{\boldsymbol {v_{i}}}^{2}$

で定義される。単位はジュール $\mathrm {J}$ である（$\textstyle \mathrm {kg} \times \mathrm {({\frac {m}{s}})^{2}} =\mathrm {kg} \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \times \mathrm {m} =\mathrm {N} \times \mathrm {m} =\mathrm {J}$）。

質点系での特性

非負スカラー

全運動エネルギーは非負のスカラーである。これは定義より明らかである。

重心運動と相対運動の和

全運動エネルギーは重心運動の運動エネルギーとそれに対する相対運動の運動エネルギーの和に等しい。

質量中心（以下、重心と呼ぶ）の速度を ${\boldsymbol {V}}$、系の全質量を $\textstyle M=\sum _{i\in \mathrm {N} }m_{i}$、各質点の重心まわりの相対速度を ${\boldsymbol {v}}_{i}'={\boldsymbol {v}}_{i}-{\boldsymbol {V}}$ とする。全質量が重心に集中したと考えた際のこの質点の運動を「重心運動」と呼び、重心運動の運動エネルギーを $\textstyle K_{C}={\frac {1}{2}}M{\boldsymbol {V}}^{2}$ とする。また各質点の重心に対する相対運動の運動エネルギーの総和を $\textstyle K'=\sum _{i\in \mathrm {N} }{\frac {1}{2}}m_{i}{{\boldsymbol {v}}_{i}'}^{2}$ とする。ここで $\textstyle \sum _{i\in \mathrm {N} }m_{i}{\boldsymbol {v_{i}}}'={\boldsymbol {0}}$を利用すると、全運動エネルギー $K(t)$ は、

${\begin{aligned}K(t)&=\sum _{i\in \mathrm {N} }{\frac {1}{2}}m_{i}{\boldsymbol {v_{i}}}^{2}=\sum _{i\in \mathrm {N} }{\frac {1}{2}}m_{i}({\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {v_{i}}}')^{2}={\frac {1}{2}}M{\boldsymbol {V}}^{2}+{\boldsymbol {V}}\cdot \sum _{i\in \mathrm {N} }m_{i}{\boldsymbol {v_{i}}}'+\sum _{i\in \mathrm {N} }{\frac {1}{2}}m_{i}{{\boldsymbol {v_{i}}}'}^{2}\\&=K_{C}+K'\end{aligned}}$

と変形できる。つまり、質点系の全運動エネルギーは重心運動の運動エネルギー $\textstyle K_{C}$ と各質点の重心に対する相対運動の運動エネルギーの総和 $\textstyle K'$ の和に等しい。これは全運動量と対照的である（全運動量#質量中心の運動量と等しい）。

${\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {0}}$ の連星系で動く星々

質点系の全運動量と $\textstyle K_{C}$ は紐づいているため（⇒ 全運動量#大きさが質量中心の運動エネルギーと紐づく）、外力が ${\boldsymbol {0}}$ のとき $\textstyle K_{C}$ は一定である。一方で $\textstyle K'$ は内力のみで変化しうる。全質点が相対的に静止すれば $\textstyle K'$ はゼロであり、質点がペアやトリオで相対速度ベクトルを打ち消し合いつつ各々の速さが大きければ $\textstyle K'$ は大きくなる。よって外力 ${\boldsymbol {0}}$ でも $K(t)$ は変化しうる。例えば、連星系は外力 ${\boldsymbol {0}}$ で $\textstyle K_{C}$ は不変でも内力たる万有引力で $K'$ を位置エネルギーと交換し続けるため、$K(t)$ が刻一刻と変化する（保存力の条件を満たすため、力学的エネルギーは保存される）。非弾性衝突では $\textstyle K_{C}$ が保存される一方で $\textstyle K'$ が減少することで $K(t)$ は減少する（力学的エネルギー保存則は適用できない）。

回転運動の運動エネルギー

同様に回転運動をする物体の運動エネルギーは、角速度 ω の2乗と慣性モーメント I に比例する。

$K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

解析力学における運動エネルギー

ラグランジュ力学の出発点となるラグランジアン L は運動エネルギー K とポテンシャルエネルギー V の差として定義することができる。

$L(q,{\dot {q}};t)=K({\dot {q}})-V(q)$

この際、ラグランジアンの変数は一般化座標 $q(t)$ とその時間微分 ${\dot {q}}(t)$、及び時刻 $t$ である。 多くの場合、一般化座標として位置 $x$ や 回転角 $\theta$ とするので、運動エネルギーは

$K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2}}I_{i}{\omega _{j}}^{2}$

となる。

ハミルトン力学の出発点となるハミルトニアンH はラグランジアンのルジャンドル変換から、

$H(q,p;t)=\sum p{\dot {q}}-L$

として定義される。ハミルトニアンの変数は一般化座標 $q(t)$ と一般化運動量 $p(t)$ である。元のラグランジアンでポテンシャルが ${\dot {q}}(t)$ に依存せず、運動エネルギーが上の形をしていれば、

$p_{i}(t)={\frac {\partial L}{\partial v_{i}}}=m_{i}v_{i}$

$l_{j}(t)={\frac {\partial L}{\partial \omega _{j}}}=I_{j}\omega _{j}$

（ l は回転角度 θ に共役な角運動量）となり、運動エネルギーは

$K=\sum _{i}{\frac {1}{2m_{i}}}{p_{i}}^{2}+\sum _{j}{\frac {1}{2I_{j}}}{l_{j}}^{2}$

となる。

脚注

参考文献

• 戸田, 盛和『力学』岩波書店〈物理入門コース〉、1982年。ISBN 4-00-007641-8。 
• 小出, 昭一郎『物理学（三訂版）』（58版）裳華房、1997年。ISBN 978-4-7853-2074-4。 

関連項目

• 位置エネルギー - 重力などのポテンシャルエネルギーによって発生する運動エネルギーが潜在している状態であるともいえる。