コリオリの力

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左回りに回転する円盤の中心から等速度運動をする玉(上図)は、円盤上からは進行方向に対し右向きの力で曲げられたように見える(下図)。

概要[編集]

コリオリの力(コリオリのちから、仏: force de Coriolis)とは、回転座標系上で移動した際に移動方向と垂直な方向に移動速度に比例した大きさで受ける慣性力(見かけ上の力)の一種であり、コリオリ力、転向力(てんこうりょく)ともいう。1835年にフランスの科学者ガスパール=ギュスターヴ・コリオリが導いた。

回転座標系における慣性力には、他に、角速度変化に伴うオイラー力と回転の中心から外に向かって働く遠心力がある。

コリオリの力の方向

コリオリの力を例を使い説明する。慣性系で静止している質点を等速で回転する座標系から観測する場合を考える。そのとき、その質点は等速円運動をしている。回転座標系では、見かけの力である遠心力が円運動の中心から離れる方向に働くことが知られている。また、等速円運動では質点の加速度の向きは常に円の中心向きである。ところが回転座標系でニュートンの運動方程式が成り立つと仮定するとみかけの力の遠心力を考えただけではこの加速度を得ることができない。回転座標系で等速円運動を続けるためには物体に中心向きの見かけにの力が働くことになる。この力がコリオリの力である。

コリオリの力を実感するには、フィギュアスケーターのように回転しながら、重り(500 g程度でよい)を持った手を「前にならえ」の要領で前に突き出したり胸元にしまったりを繰り返すと分かりやすい。左回りに回転している場合、腕を前方に突き出す時には重りが右方向に引っ張られるように感じ、腕を胸元にしまうときには左方向に吸い込まれるように感じる。この、重りの進行方向からみて右にずれる方向に働いている見かけ上の力が、コリオリの力である。

コリオリの力を利用したものとして、角速度を測るジャイロ(角速度計)や流量計などがある。

導出[編集]

図1 慣性系と回転座標系の関係性
図2 軸を重ねたみた時の慣性系と回転座標系の関係性

慣性系O-xyに対して原点のまわりを一定の角速度\boldsymbol{\omega}で回転する座標系O-x'y'で質点Pに力\boldsymbol{F}が働く場合を考える。 あるベクトル\boldsymbol{q}の成分が

慣性系では

\boldsymbol{q}=\begin{bmatrix}q_{x}\\ q_{y} \end{bmatrix}

回転座標系では

\boldsymbol{q'}=\begin{bmatrix} q'_{x} \\ q'_{y} \end{bmatrix}

と表されるとき図1,2より\boldsymbol{q}\boldsymbol{q'}を原点Oのまわりに\omega tだけ回転したものになるので

\boldsymbol{q}=\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{q'}

と表される。

\boldsymbol{R}(\theta )=\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}と定義する。

すると質点Pの位置ベクトル\boldsymbol{r}と回転座標系でみたベクトル\boldsymbol{r'}の関係は

\boldsymbol{r}=\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{r'}

と表される。

両辺を時刻tで微分して

\boldsymbol{v}={d\boldsymbol{r} \over dt}={d\boldsymbol{R}(\omega t) \over dt}\boldsymbol{r'}+\boldsymbol{R}(\omega t){d\boldsymbol{r'} \over dt}
=\omega \boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2})\boldsymbol{r'}+\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{v'}

さらにtで微分して

\boldsymbol{a}={d^2\boldsymbol{r} \over dt^2}=\omega {d\boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2}) \over dt}\boldsymbol{r'}+
\omega \boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2}){d\boldsymbol{r'} \over dt}
+{d\boldsymbol{R}(\omega t) \over dt}\boldsymbol{v'}+\boldsymbol{R}(\omega t){d\boldsymbol{v'} \over dt}

=\omega ^2\boldsymbol{R}(\omega t+\pi )+2\omega \boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2})\boldsymbol{v'}+\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{a'}
=-\omega ^2\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{r'}+2\omega \boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2})\boldsymbol{v'}+\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{a'}……(1)

{d\boldsymbol{R}(\omega t) \over dt}={d(\omega t) \over dt}{d\boldsymbol{R}(\omega t) \over d\omega t}=\omega \boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2})
\boldsymbol{R}(\omega t+\pi )=-\boldsymbol{R}(\omega t)を用いた。

ベクトル\boldsymbol{F}と回転座標系でみたベクトル\boldsymbol{F'}の関係は

\boldsymbol{F}=\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{F'} ……(2)

と表される。

運動方程式\boldsymbol{F}=m\boldsymbol{a}に(1),(2)を代入して

\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{F'}=-m\omega ^2\boldsymbol{R}(\omega t)\boldsymbol{r'}+2m\omega \boldsymbol{R}(\omega t+{\pi \over 2})\boldsymbol{v'}

+\boldsymbol{R}(\omega t) m\boldsymbol{a'}

両辺に\boldsymbol{R}(-\omega t)をかけて

\boldsymbol{F'}=-m\omega ^2\boldsymbol{r'}+2m\omega \boldsymbol{R}({\pi \over 2})\boldsymbol{v'}+m\boldsymbol{a'}

式変形して

m\boldsymbol{a'}=\boldsymbol{F'}+m\omega ^2\boldsymbol{r'}-2m\omega \boldsymbol{R}({\pi \over 2})\boldsymbol{v'}

すなわち回転座標系から物体を見た場合実際の力\boldsymbol{F}のほかにm\omega ^2\boldsymbol{r'}2m\omega \boldsymbol{R}({\pi \over 2})\boldsymbol{v'}の力が働いているように見える。

この2m\omega \boldsymbol{R}({\pi \over 2})\boldsymbol{v'}は、見かけの力でコリオリの力という。コリオリの力は速度v'の方向と回転軸の方向\omegaの両方に垂直である。

m\omega ^2\boldsymbol{r'}は、質点を回転軸に垂直に引き離そうとする見かけの力で遠心力という。

地球の回転によるコリオリの力[編集]

緯度φでの角速度

地球の角速度を\omega とすると緯度φの地平面での角速度は、\omega \sin \phi[1]となるため地球の回転によるコリオリの力の大きさはF=2mv\omega sin\phiで表される。

  1. ^ 緯度\phiの水平面は地軸に対して角度\phiで地軸周りを角速度\boldsymbol{\omega}で回転している。 A点から地軸に垂線をおろし、垂線の長さを\boldsymbol{r}とすると単位時間に\boldsymbol{r}\times \boldsymbol{\omega }だけ地軸を中心に移動する。またA点の地平面が地軸を通過するまでの距離は{r \over \sin \phi}となる。 回転速度=移動距離/回転半径より 緯度\phi の地点での角速度は \boldsymbol{\omega }_{\phi }=\boldsymbol{\omega }\cdot \sin \phi となる。

地球の回転によるコリオリの力の影響[編集]

コリオリの力を一番強く受ける北極において時速100 kmのボールをピッチャープレートとホームベースの距離18.4 mの間でを投げたとするときコリオリの力が与える影響を考える。 地球の角速度\omega \omega =7.29\times 10^{-5} rad/s

よってコリオリの力による加速度の大きさは a' = 2\omega v' =4.03\times 10^{-3} m/s^2

通過するのにかかる時間tはt=0.661 sであるから等加速度運動とみなすとずれの距離xは x= {1 \over 2}a't^20.88 mm つまり1 mmにも満たない。また北極より緯度の小さい地域ではコリオリの力の影響はさらに小さくなる。 日常生活の中で地球の回転によって生じるコリオリの力は非常に小さなものなのである。

次に北極において秒速1000 mの砲弾を距離10 km先まで飛ばすときのコリオリの力による影響を考える。 地球の角速度\omega \omega =7.29\times 10^{-5} rad/s よってコリオリの力による加速度の大きさは a' = 2\omega v' =1.46\times 10^{-1} m/s^2 通過するのにかかる時間tはt=10.0 sであるから等加速度運動とみなすとずれの距離xは x= {1 \over 2}a't^27.3 m 7 mものずれが生じる。 このように大規模な運動では地球の回転によって生じるコリオリの力は大きな影響を及ぼすのである。

コリオリの力が作用する具体例[編集]

地球は東向きに自転している。そのため、北半球から赤道に向かって運動している物体には東向き、逆に、赤道から北半球に向かって運動している物体には西向きの力が働く。北半球では進行方向に対し右向き、南半球では左向きの力が働くとも言える。例としては、以下のものがある。

地衡風
地衡風
上空で気圧の差があれば気圧の高いほうから低いほうに向かって空気塊を動かそうとする力が働く。この力を気圧傾度力という。等圧線が平行かつ気圧傾度力が一定ならば食う機会は等圧線に対して直角に気圧の高いほうから低いほうへ加速される。北半球ではその進行方向右向きコリオリの力が働く。コリオリの力は速度に比例して大きくなるため空気塊は右に曲がりながら速度を上げ最終的には気圧傾度力とコリオリの力は正反対の向きにつりあう。すると空気塊は加速されない向きも変えない安定した風になる。この風を地衡風という。 :
台風
台風が北半球で反時計回りのを巻くのは、風が低気圧中心に向かって進む際にコリオリの力を受け、進行方向に対し中心から右にずれた地点に到達するためである[1]
極軌道人工衛星
北極点上空から日本上空へ向かおうとする人工衛星は直進するが、地球は自転しているため、地上にいる観測者には、衛星がアジア大陸方面へ逸れていくように見える。
海流
大気だけでなく、海流の運動もコリオリの力の影響を受けている(エクマン輸送)。
砲弾
北半球で真北に撃った砲弾が、標的よりもわずかに東(右)にずれることは昔から知られていることである。このように、大砲ロケット、1000m近い長距離での狙撃などの軌道計算はコリオリの力を考慮した補正が必要である。

出典[編集]

  1. ^ 朝永振一郎 『物理学読本』 (第2版) みすず書房、1981年、30頁。ISBN 4-622-02503-5 

関連項目[編集]