角運動量保存の法則

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角運動量保存の法則(かくうんどうりょうほぞんのほうそく)とは、質点系について、単位時間あたりの全角運動量の変化は外力によるトルク(力のモーメント)に等しい(ただし内力が中心力であるときに限る)という法則である。

この特別な場合として、外力が働かない(もしくは外力が働いていたとしてもそれによるトルクが0の)場合、質点系の角運動量は常に一定である。例えば、フィギュアスケートの選手がスピンをする際、前に突き出した腕を体に引きつけることで回転が速くなる(角速度が大きくなる)。このとき回転軸から腕先までの距離が短くなるため、かわりに回転が速くなることによって、角運動量が一定に保たれる。

回転する「こま」は、回転軸にそって、(上から見て)時計回りなら下向きの、反時計回りなら上向きの角運動量を持っている。独楽の回転軸(それは重心を貫いている)が鉛直方向に平行であれば、独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力が共に1本の直線上(回転軸上)にあるため、独楽に働く外力によるトルクは0である。従って、この場合独楽の角運動量は一定であり、独楽は軸周りの回転だけを続ける。ところが、独楽が傾くと独楽にかかる重力と、床から独楽が受ける垂直抗力は、1本の直線上には乗らず、従って、これらの力がトルクを生じる。このトルクが独楽の角運動量を変化される。その結果、独楽は本来の回転軸のまわりの回転に加えて、それとは別の軸(独楽と床が接する点を通る鉛直線)のまわりでも回転をする。それが独楽の「みそすり運動」すなわち歳差運動である。

角運動量保存の法則の証明 (1つの質点の場合)[編集]

1つの質点角運動量 の時間変化(時間微分)は以下の式のようになる。

ここで、質点位置ベクトル運動量時間である。右辺第一項は、

すなわち、速度 どうしの外積なので となる。よって、 は次のようになる。

ここで、 は、外力 によるトルク (力のモーメント)である。また、運動方程式 を使った。この式の意味するところは、角運動量の時間変化は外力によるモーメントに等しいということである。これにより、以下のことが分かる。

  • もし外力がなければ、すなわち ならば、当然 であり、角運動量は保存される。
  • 外力が と平行の場合、 すなわちトルクが 0 となって、角運動量は (一定)となり、保存される。

よって、質点に外力がまったく働かないか、あるいは外力が位置ベクトルに平行(トルクが 0)であるならば、その質点の角運動量は保存される。

角運動量保存の法則の証明 (質点系, つまり複数の質点の場合)[編集]

n 個の質点を考える。i 番目の質点を「質点i」と呼ぶ。質点 i に関する量を添字 i で表す。前項より、質点 i角運動量について以下が成り立つ:

質点iに働く力は, 以下のように表される:

ここで、 は質点 j が質点 i に及ぼす力(内力)であり、 は質点 i におよぶ外力である。これを上式に代入し、i について総和をとれば、

となる。右辺第一項は、作用反作用の法則()より、次式のようになる:

ここで, もし内力が中心力ならば(すなわち, 質点同士が互いに及ぼす力が, 両者を結ぶ直線上にあるならば), は互いに平行であるので, (外積の性質より)この式の の中は になる。つまりこの式は になる。従って,

となる。すなわち, 質点系の全角運動量の時間変化(左辺)は, 質点系に外力が及ぼす全トルク(右辺)に等しい。

ケプラーの法則との関係[編集]

ケプラーの法則の第二法則「面積速度一定の法則」は、「角運動量保存の法則」に他ならない。なぜなら、面積速度は

と表すことができるが、これを 2 倍すると角運動量 に等しくなる。この法則は天体の間の引力が中心力であることをあらわしている。

角運動量保存則と空間[編集]

一般に物理量保存則は我々の住む時空対称性の現れであり、角運動量保存則は空間回転対称性の現れである。空間については運動量保存則から並進対称性を持つことと併せて、自由な移動に対して対称であって、場所や方向によって物理法則が変わることはない。ただし、弱い相互作用におけるパリティ対称性の破れから、空間が鏡像対称性を持たないこと、すなわち空間には本質的に左右の区別があることが解っている。

関連項目[編集]