電磁場テンソル

電磁テンソルとは、電磁場を相対性理論にもとづいた形式で記述したものである。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。

定義

電磁場の強度（field strength） F は二階のテンソル

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$

と定義される。 A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル

$A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\left({\frac {\phi }{c}},-{\boldsymbol {A}}\right)$

である。 微分も相対論的な4元ベクトル

$\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)$

である。

定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。 これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 E と磁束密度 B の各成分に対応する。 電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって

${\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}$

${\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}$

と表される。 あるいは各成分毎に

$E_{j}/c=-\partial _{j}A_{0}+\partial _{0}A_{j}=F_{0j}$

$B_{i}\epsilon _{ijk}=-\partial _{j}A_{k}+\partial _{k}A_{j}=-F_{jk}$

と書くことが出来る。 具体的には

$(F_{01},F_{02},F_{03})=(E_{1}/c,E_{2}/c,E_{3}/c)$

$(F_{23},F_{31},F_{12})=(-B_{1},-B_{2},-B_{3})$

である。上付きの $F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }F_{\rho \sigma }$ は

$(F^{01},F^{02},F^{03})=(-E_{1}/c,-E_{2}/c,-E_{3}/c)$

$(F^{23},F^{31},F^{12})=(-B_{1},-B_{2},-B_{3})$

となり、行列の形で表せば

$(F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-E_{1}/c&-E_{2}/c&-E_{3}/c\\E_{1}/c&0&-B_{3}&B_{2}\\E_{2}/c&B_{3}&0&-B_{1}\\E_{3}/c&-B_{2}&B_{1}&0\\\end{bmatrix}}$

となる。

媒質中の電磁場

媒質中での電磁場を表す電束密度 D と磁場の強度 H は二階のテンソル G^μν によって相対論的な形式で記述される。 それぞれの成分は具体的には

$(G^{01},G^{02},G^{03})=(-cD_{1},-cD_{2},-cD_{3})$

$(G^{23},G^{31},G^{12})=(-H_{1},-H_{2},-H_{3})$

である。G^μν はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。 サブ電磁テンソル G と電磁場の強度 F は

$G^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-M^{\mu \nu }$

と関係付けられる。ここで M^μν は磁化テンソルである。 その成分は誘電分極 P と磁化 M である。

$(M^{01},M^{02},M^{03})=(cP_{1},cP_{2},cP_{3})$

$(M^{23},M^{31},M^{12})=(-M_{1},-M_{2},-M_{3})$

行列の形で表せば

$(G^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-cD_{1}&-cD_{2}&-cD_{3}\\cD_{1}&0&-H_{3}&H_{2}\\cD_{2}&H_{3}&0&-H_{1}\\cD_{3}&-H_{2}&H_{1}&0\\\end{bmatrix}}$

$(M^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&cP_{1}&cP_{2}&cP_{3}\\-cP_{1}&0&-M_{3}&M_{2}\\-cP_{2}&M_{3}&0&-M_{1}\\-cP_{3}&-M_{2}&M_{1}&0\\\end{bmatrix}}$

である。

双対テンソル

完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル

${\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }$

が定義される。 具体的には

$({\tilde {F}}^{01},{\tilde {F}}^{02},{\tilde {F}}^{03})=(F_{23},F_{31},F_{12})=(-B_{1},-B_{2},-B_{3})$

$({\tilde {F}}^{23},{\tilde {F}}^{31},{\tilde {F}}^{12})=(F_{01},F_{02},F_{03})=(E_{1}/c,E_{2}/c,E_{3}/c)$

であり、行列の形で表せば

$({\tilde {F}}^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-B_{1}&-B_{2}&-B_{3}\\B_{1}&0&E_{3}/c&-E_{2}/c\\B_{2}&-E_{3}/c&0&E_{1}/c\\B_{3}&E_{2}/c&-E_{1}/c&0\\\end{bmatrix}}$

となる。

マクスウェルの方程式

電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。 定義から恒等式

$\partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0$

が成り立つ。 完全反対称テンソルを用いれば

$\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\rho }F_{\mu \nu }=0$

と表すことも出来る。 この式は添え字 σ=0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ

$\nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0$

$\nabla \times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=\mathbf {0}$

である。

真空中の電磁場の運動方程式は

$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}j^{\nu }$

と表される。 ここで j は4元電流密度である。 この式は添え字 ν=0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ

$\nabla \cdot {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla \times {\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}$

である。

媒質中の運動方程式

媒質中の運動方程式は

$\partial _{\mu }G^{\mu \nu }=j^{\nu }$

と表される。 成分ごとにそれぞれ

$\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho$

$\nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}={\boldsymbol {j}}$

である。

ローレンツ力

電磁テンソルは、荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述した式の中に現れる。 電荷 q を持ち、相対論的な位置 z=(ct,r) を運動する荷電粒子に作用する相対論的なローレンツ力は以下のようになる。

${\dot {p}}_{\mu }=q{\dot {z}}^{\nu }F_{\nu \mu }(z)$

p は相対論的な運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。

詳細は「ローレンツ力」を参照

参考文献

• L.D.ランダウ, E.M.リフシッツ『場の古典論』東京図書〈理論物理学教程〉、1978年。ISBN 4-489-01161-X。 
• J.D.ジャクソン『電磁気学』吉岡書店〈物理学叢書〉、2003年。ISBN 4-8427-0308-3。 

関連項目

• 電磁気学
• 特殊相対性理論
• テンソル
• マクスウェル方程式
• アインシュタインの縮約記法