ファンデルモンド行列

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ファンデルモンド行列とは、行または列の行列要素に等比数列の各項が順番にならんでいる特別な構成の行列のこと。ファンデルモンド(Alexandre-Théophile Vandermonde)にちなんで名付けられている。多項式補間などで利用される。

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ファンデルモンド行列の例

列に等比数列の各項がならぶ例


\begin{pmatrix}
  & 1      & 1      & 1      & \cdots   & 1      \\
  & a      & b      & c      & \cdots   & z      \\
  & a^2    & b^2    & c^2    & \cdots   & z^2    \\
  & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots   & \vdots \\
  & a^n    & b^n    & c^n    & \cdots   & z^n    \\
\end{pmatrix}

行に等比数列の各項がならぶ例


\begin{pmatrix}
  & 1      & a      & a^2     & \cdots  & a^n    \\
  & 1      & b      & b^2     & \cdots  & b^n    \\
  & 1      & c      & c^2     & \cdots  & c^n    \\
  & \vdots & \vdots & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
  & 1      & z      & z^2     & \cdots  & z^n    \\
\end{pmatrix}


定義[編集]

ファンデルモンドの行列式[編集]

正方行列 Vn をその成分が vj,k=xkj-1 (1≦j,k≦n)であるn行n列のファンデルモンド行列とすると以下が成り立つ。

 \det V_n = \det
\begin{vmatrix}
  & 1         & 1         & \cdots   & 1      \\
  & x_1       & x_2       & \cdots   & x_n    \\
  & x_1^2     & x_2^2     & \cdots   & x_n^2  \\
  & \vdots    & \vdots    & \ddots   & \vdots \\
  & x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots   & x_n^{n-1}  \\
\end{vmatrix}
= \prod_{1 \le j < k \le n} (x_k - x_j)

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 \det V_2 = \det
\begin{vmatrix}
  1    & 1    \\
  a    & b    \\
\end{vmatrix}
= (b-a)

 \det V_3 = \det
\begin{vmatrix}
  1    & 1    & 1   \\
  a    & b    & c   \\
  a^2  & b^2  & c^2 \\
\end{vmatrix}
= (b-a)(c-a)(c-b)

参考文献[編集]

George A. F. Seber (Jan 28, 2008), A Matrix Handbook for Statisticians, John Wiley & Sons, inc, pp. 183-184 (576), ISBN 978-0-471-74869-4, http://as.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471748692.html