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正方形に最大サイズで収まる赤い正七角形
正七角形
正七角形の作図。
七角形 (しちかくけい、しちかっけい、ななかくけい、ななかっけい、英語 : heptagon, septagon )とは、7個の頂点 と7本の辺 により構成される多角形 の総称。
正七角形
正七角形 (せい - 、英 : regular heptagon )とは、各辺の長さが等しく、全ての内角 の大きさも等しい七角形を指す。その一つの内角は5π/7ラジアン (128と4/7度 )で、一つの外角および中心角は2π/7ラジアン(51と3/7度)である。一辺の長さをa とすると周長は7a であり、面積A は以下のように表される。
A
=
7
4
a
2
cot
π
7
,
{\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}},}
A
=
7
4
a
2
tan
5
π
14
,
{\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\tan {\frac {5\pi }{14}},}
A
=
7
12
a
2
(
7
+
4
cos
(
arctan
3
3
3
)
)
,
{\displaystyle A={\frac {7}{12}}a^{2}\left({\sqrt {7}}+4\cos \left({\frac {\arctan {3{\sqrt {3}}}}{3}}\right)\right),}
A
≃
3.63391
a
2
.
{\displaystyle A\simeq 3.63391a^{2}.}
A
=
a
2
4
7
3
(
35
+
2
14
2
(
13
−
3
−
3
)
3
+
2
14
2
(
13
+
3
−
3
)
3
)
{\displaystyle A={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {{\frac {7}{3}}(35+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13-3{\sqrt {-3}})}}+2{\sqrt[{3}]{14^{2}(13+3{\sqrt {-3}})}})}}}
ただしarctan関数の値域は
(
−
π
2
,
+
π
2
)
{\displaystyle \left(-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\right)}
にとる。
中心から頂点までの距離は、外接円 の半径R に等しく
R
=
1
2
a
1
sin
π
7
{\displaystyle R={\frac {1}{2}}a{\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}}
である。中心から辺までの最短距離 は、内接円 の半径r に等しく
r
=
1
2
a
cot
π
7
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}a\cot {\frac {\pi }{7}}}
である。
正七角形には、全部で14本の対角線 を引くことができるが、対角線の長さは2種類しかない。すなわち、2つ隣の頂点を結ぶ短い対角線b と、3つ隣の頂点を結ぶ長い対角線c である。7本の対角線b からなる図形と、7本の対角線c からなる図形は、どちらも七芒星 と呼ばれるが、日本では前者の意匠は特に茅の輪 (ちのわ)と呼ばれることがある。 [要出典 ]
上記の3つの長さについて成り立つ等式
a
=
2
R
sin
π
7
,
b
=
2
R
sin
2
π
7
,
c
=
2
R
sin
3
π
7
,
{\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{7}},~b=2R\sin {\frac {2\pi }{7}},~c=2R\sin {\frac {3\pi }{7}},}
1
a
=
1
b
+
1
c
{\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}
が知られている。これに関連して次も成り立つ。
1
sin
π
7
=
1
sin
2
π
7
+
1
sin
3
π
7
{\displaystyle {\frac {1}{\sin {\frac {\pi }{7}}}}={\frac {1}{\sin {\frac {2\pi }{7}}}}+{\frac {1}{\sin {\frac {3\pi }{7}}}}}
正七角形の作図
正七角形をコンパス と定規 (長さの計測が不可能なもの)のみによって作図 することは不可能であることが証明されている[1] 。
しかし7はピアポン素数 であるから、角の三等分 を遂行する能力をもつ道具である印付き定規(長さの計測が可能なもの)を用いたり、あるいは折り紙を用いたりすれば作図可能であることもまた証明されている[2] 。
紀元前にアルキメデス (前287~前212)はその著書『円に含まれる七角形について』(英題: On the Heptagon in the Circle )において円錐曲線 の交わりを使って正七角形を作図していたとみられるが、この本は現存しない。サービト・イブン・クッラ (826~901)などのイスラムの数学 者が、アルキメデスの本に言及して、正七角形を作図しているという[2] 。
また複素数 を経由するが、整数から加減乗除と平方根と立方根のみによって
cos
2
π
7
=
1
6
(
7
⋅
1
+
3
3
⋅
i
2
7
3
+
7
⋅
1
−
3
3
⋅
i
2
7
3
−
1
)
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{7}}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1+3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}+{\sqrt {7}}\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {1-3{\sqrt {3}}\cdot i}{2{\sqrt {7}}}}}-1\right)}
と表すことができる(一意に定まらない複素数の立方根のうちどれを採るかには注意せねばならないが)ことも作図可能性の証拠となる。なお、加減乗除と実冪根のみではこういった表示はできない。
その他、より汎用的なヒッピアスの円積曲線 (英語版 ) の利用や角の七等分器を製作することによっても作図できる。
折り紙により正七角形が作図できる[3] 。
ネウシス作図 (スライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図)により正七角形が作図できる。
目盛り付き定規を用いたネウシス作図
その他の事物
2011年 現在、イギリス では正七角形をした2種類(50ペンス (英語版 ) と20ペンス (英語版 ) )の硬貨 が流通している。ただし、これらの硬貨の辺は曲線的であり、厳密には七角形ではなく、ルーローの七角形 である。また、ユーロ 貨幣の20セント 硬貨は円形 であるが、正七角形の頂点に当たる部分に7つの溝を持つ。
2011年12月 、タイ で国王ラーマ9世 の誕生日を祝い、世界初の七角形の切手 が発売された[4] 。
脚注
関連項目
外部リンク
ウィキメディア・コモンズには、
七角形 に関連するカテゴリがあります。
Weisstein, Eric W. "Heptagon" . mathworld.wolfram.com (英語).
非古典的 (2辺以下) 辺の数: 3–10
辺の数: 11–20 辺の数: 21–30 辺の数: 31–40 辺の数: 41–50 辺の数: 51–70 (selected) 辺の数: 71–100 (selected) 辺の数: 101– (selected) 無限 星型多角形 (辺の数: 5–12)多角形のクラス