ラッセルのパラドックス

ラッセルのパラドックス（英語：Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。

ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。

概要

ラッセルのパラドックスとは、自分自身を要素として含まない集合全体の集合 $R=\{x\mid x\notin x\}$ の存在から矛盾が導かれるという、素朴集合論におけるパラドックスである。いま $R\in R$ と仮定すると、$R$ の定義より $R\notin R$ となるから、これは不合理である。したがって（仮定無しで） $R\notin R$ である。ところが $R$ の定義より $R\in R$ となるから、やはり不合理である。

集合論が形式化されていないことは矛盾の原因ではない。このパラドックスは古典述語論理上の理論として形式化された無制限な内包公理を持つ素朴集合論においても生ずる。上記の証明では排中律並びにそれと同等な論理法則を用いていないから、直観主義論理上の素朴集合論においても矛盾は生ずる。したがって論理を古典論理から直観主義論理に変更しても、ラッセルのパラドックスは回避できない。パラドックスの回避については、様々な方法が提案されている。詳細は後述する。

矛盾の解消

ラッセルの時代には何をもって集合と呼ぶかがはっきりしていなかったので、上記の議論は集合論の矛盾を指摘するかに見えた。しかし公理的集合論によって何をもって集合とするかについての形式的な整備が進むとともに、上記の議論のはじめに考えたような素朴（だが超越的）な$R$ の構成法は集合についての定義としては許容されないような体系が構築された。

公理的集合論ではまず集合論を形式化する。次にいかなる形の集合が存在するかを公理によって規定する。これらの公理は通常の数学を集合論の上で展開するために十分なだけの集合の存在を保証しつつ、ラッセルのパラドックスの

$R=\{x|x\notin x\}$

のような集合は構成できないように慎重に選ばれている。例えば素朴集合論では、上のような集合の存在を保証するために次の内包公理を置く：

任意の性質 $P(x)$ に対して、 $P(x)$ を満たす元 $x$ の集合 $\{x|P(x)\}$ が存在する

例えば最もよく用いられる集合論の体系であるZFC集合論では次の分出公理が置かれる：

任意の性質 $P(x)$ と集合 $A$ に対して、 $P(x)$ を満たす $A$ の元 $x$ の集合 $\{x\in A|P(x)\}$ が存在する

ここでの性質とは形式化された集合論の論理式と解釈される。このように修正された公理からはラッセルのパラドックスで用いられるような集合の存在を証明することはできない。これによりラッセルのパラドックスの議論はZFC集合論からは排除される。

ZFC集合論では $R$ のような集合の存在を仮定すると矛盾が導かれる。したがって $R$ の存在の否定が証明される。公理的集合論ではこのような集合の単なる集まりのことをクラスと呼ぶ。とくにその集合としての存在が否定されるようなクラスを真のクラスという。例えば全ての集合の集合が存在すれば、分出公理を適用することで、 $R$ の存在が導かれる、ここに不合理を得る。したがって全ての集合の集合は存在せず、全ての集合のクラスは真のクラスである。ZFC集合論ではクラスそのものを体系の内部で扱うことができない。そこでクラスは形式的には変数を持つ論理式として扱われる。すなわち

$A=\{x|P(x)\}$

なるクラスは実体としては論理式 $P(x)$ であって、クラスを用いた議論はクラスを用いない形に書き換えて行う。例えば論理式 $P(x)$ と $Q(x)$ で定まるクラス $A$ と $B$ について、それらが等しい $A=B$ ということは、

$\forall x(P(x)\Leftrightarrow Q(x))$

なる論理式のことと考える。このようにZFC集合論ではクラスを扱う際にメタ理論と対象理論とを行き来する必要がある。NBG集合論では、クラスを表す変数と集合を表す変数を導入し、体系内でクラスを扱えるようにしている。

ラッセルのパラドックスでは論理式 $x\notin x$ に内包性公理を適用することによってパラドキシカルな集合を構成している。これは論理式 $x\in x$ の否定である。ZFC集合論では $x\in x$ のように循環的な帰属関係を持つ集合の存在は正則性公理によって否定される。もっとも正則性公理がラッセルのパラドックスを排除しているわけではない。何故なら公理を追加しても証明できる論理式は減らないからである。さらに反基礎公理と呼ばれる循環的な集合の存在を積極的に保証する公理を置く集合論の体系も存在しており、この体系の無矛盾性はZFC集合論の無矛盾性から相対的に導かれる。ただしある種の循環性を制限することによって無矛盾性を確保しようという試みは存在しており、例えば後述する単純型理論はその典型的な例である。

単純型理論では、項に型と呼ばれる自然数 0,1,2,… を割り当て、述語記号 ∈ を (n階の項)∈(n+1階の項) の形でのみ許容する（すなわち論理式の文法を制限する）ことで矛盾を回避する。単純型理論は階型毎に無制限の内包公理を持つが、無矛盾である。

縮約規則を取り除いたグリシン論理やBCK論理などの弱い論理の上では、無制限な内包公理を認めた（ただし外延性公理を排除した）素朴集合論が矛盾無く展開できることが知られている。外延性公理が排除されるのは、外延性公理から縮約規則が導かれ、したがって矛盾するからである。例えばBCKβでは次のようにして外延性公理から矛盾が導かれる。次の集合 $A$ を考える。

$A=\{x|A=\varnothing \}$

ここで $\varnothing$ は空集合であり、

$\varnothing =\{x|\bot \}$

で定義される。集合 $A$ の定義には自己参照が含まれるが、不動点コンビネータによってこれは可能である。この集合論において外延性公理が成立すると仮定する。すると次のようにして矛盾が導かれる。等号 $x=y$ の形の仮定に対しては縮約規則が使用できることに注意。まず $A=\varnothing$ を仮定する。集合 $x$ を何でもいいのでひとつ取る。すると仮定および $A$ の定義より $x\in A$ が成り立つ。再び仮定を使用すれば $x\in \varnothing$ が成り立つ。したがって空集合の定義より $\bot$ が導かれる。これは不合理であるから $A\neq \varnothing$ である。いま $y\in A$ を一度だけ仮定する。すると仮定および $A$ の定義より $A=\varnothing$ が成り立つ。ところが $A\neq \varnothing$ であったはずだから矛盾 $\bot$ が導かれる。ゆえに空集合の定義より $y\in \varnothing$ が成り立つ。逆に $y\in \varnothing$ を一度だけ仮定する。すると仮定および空集合の定義より矛盾 $\bot$ が導かれる。ゆえに爆発原理より $y\in A$ が成り立つ。したがって $A$ と空集合は外延的に等価である。外延性公理より $A=\varnothing$ が成り立つ。これは $A\neq \varnothing$ と矛盾する。

ウカシェヴィッチの3値論理上の素朴集合論では、 $R\in R$ の真理値を不定値と解釈すればラッセルのパラドックスは生じない。ところが莫少揆のパラドックスと呼ばれる別のパラドックスが生じる。詳細は該当記事を参照。

歴史

起源

通説では1902年6月16日のラッセルのフレーゲ宛て書簡が「ラッセルのパラドックス」の起源とされている。しかし、1899年から1900年頃にエルンスト・ツェルメロが独立に同じパラドックスを発見し、ダフィット・ヒルベルトやエドムント・フッサールに知らせていた。そのため、厳密には「ツェルメロ=ラッセルのパラドックス」と呼ぶべきである。

年表

• 1879年：フレーゲ『概念記法』出版。
• 1884年：フレーゲ『算術の基礎』出版。
• 1888年：デーデキント『数とは何か、何であるべきか』出版。自然数論の始まり。
• 1893年：フレーゲ『算術の基本法則』出版。
• 1902年6月16日：ラッセルからフレーゲ宛てにパラドックスを知らせる書簡が投函。
• 1902年6月22日：フレーゲからラッセル宛てに返信が投函。
• 1903年：フレーゲ『算術の基本法則』第II巻出版。後書きでラッセルのパラドックスを公開。
• 1903年：ラッセル The Principles of Mathematics 出版。型理論の始まり。
• 1903年11月7日：ヒルベルトからフレーゲ宛に返信が投函。ラッセルのパラドックスが3～4年前にツェルメロによって発見されていたことを記載。
• 1908年：ツェルメロ「集合論の基礎に関する研究」発表。公理的集合論の始まり。

参考文献

• ゴットロープ・フレーゲ 著、野本和幸編 編『フレーゲ著作集3　算術の基本法則』勁草書房、2000年9月。ISBN 4-326-14822-5。 
• ゴットロープ・フレーゲ 著、野本和幸編 編『フレーゲ著作集6　書簡集　付「日記」』勁草書房、2002年5月。ISBN 4-326-14825-X。 
• 高木貞治「数理が躓く（？）」、『近世数学史談・数学雑談』（合本・復刻版）共立出版、1996年12月、pp. 188-233頁。ISBN 4-320-01551-7。 
• 三浦俊彦『ラッセルのパラドクス　――世界を読み換える哲学――』岩波書店〈岩波新書〉、2005年10月。ISBN 4-00-430975-1。 
• Russell, B. (1903). The Principles of Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press 

関連項目

• 型理論
• 集合論
• 公理的集合論
• パラドックス
• バートランド・ラッセル
• ゴットロープ・フレーゲ
• エルンスト・ツェルメロ
• ダフィット・ヒルベルト
• エドムント・フッサール
• 矛盾許容論理
• カリーのパラドックス
• モーダストレンス
• 床屋のパラドックス、ラッセルのパラドックスを分かり易くした例
• 市長のパラドックス
• グロタンディーク宇宙
• エピメニデスのパラドックス

外部リンク

• Russell's Paradox （英語） - インターネット哲学百科事典「ラッセルのパラドックス」の項目。
• Russell's Paradox （英語） - スタンフォード哲学百科事典「ラッセルのパラドックス」の項目。
• Russell's Antinomy - Webサイト MathWorld にある「ラッセルの二律背反」についての項目（英語）