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'''正則行列'''(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、'''非特異行列'''(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは'''可逆行列'''(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは[[行列]]の通常の積に関する[[逆元]]を持つ[[正方行列]]のことである。 |
'''正則行列'''(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、'''非特異行列'''(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは'''可逆行列'''(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは[[行列]]の通常の積に関する[[逆元]]を持つ[[正方行列]]のことである。 |
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簡単に言うと逆行列が存在する行列のことである。 |
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ある[[可換体|体]]上の同じサイズの正則行列の全体は[[一般線型群]]と呼ばれる[[群論|群]]を成す。 |
ある[[可換体|体]]上の同じサイズの正則行列の全体は[[一般線型群]]と呼ばれる[[群論|群]]を成す。 |
2016年11月15日 (火) 16:30時点における版
正則行列(せいそくぎょうれつ、regular matrix)、非特異行列(ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix)あるいは可逆行列(かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix)とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。
簡単に言うと逆行列が存在する行列のことである。
ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。 多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。
定義
n 次単位行列を I で表す。 体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、
を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。 これを A の逆行列と呼び、A−1 と表す[1]。
例
このとき AB = I = BA を満たすので、A は正則行列で[3]、B は A の逆行列である。 一方、 B に注目すれば B も正則行列で、A は B の逆行列である。
また次の行列 N は逆行列をもたないので、正則ではない。
特徴づけ
n 次正方行列 A に対して次は同値である。
性質
n 次正則行列 A、B について次が成り立つ。
- |A−1| = |A|−1
- (A−1)−1 = A
- (AB)−1 = B−1A−1
- n 次正方行列 N が冪零行列ならば I − N は正則で、逆行列は I + N + … + Nn − 1 である[8]
判定法
「ガウスの消去法」も参照
行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できる[9]。 具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。 一方で、理論的には行列式を使ったクラメールの公式も重要である。 しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かない[10]。
関連項目
脚注
参考文献
- 斎藤, 正彦『線型代数入門』(初版)東京大学出版会、1966年。ISBN 978-4-13-062001-7。