正多面体

正多面体（せいためんたい、regular polyhedron）、またはプラトンの立体（プラトンのりったい、Platonic solid）とは、すべての面が同一の正多角形で構成されてあり、かつすべての頂点において接する面の数が等しい凸多面体のこと。正多面体には正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の五種類がある。

三次元空間の中に一つの頂点を取り、その周りに取ることが可能な正多角形に関する制限から、正多面体が先に示した五種類のみであることが証明できる。このことは、オイラーの多面体公式からも証明できる。しかし、条件を緩めることによって、正多面体の拡張を考えることができる（参照:星型正多面体、ねじれ正多面体、正平面充填形）。正多面体の構成面を正 p 角形、頂点に集まる面の数を q として {p, q} のように表すことができる。これをシュレーフリ記号という。シュレーフリ記号は半正多面体（別名：アルキメデスの立体）にも拡張することができる。

一覧

正多面体の表面積、体積は一辺を a とすれば、概略下記となる。

名前と図	構成面	辺	頂点	シュレーフリ記号	表面積とその概数	体積とその概数
正四面体	正三角形	6	4	{3,3}	${\sqrt {3}}a^{2}$ $\simeq 1.732a^{2}$	${{\sqrt {2}} \over 12}a^{3}$ $\simeq 0.118a^{3}$
正六面体	正方形	12	8	{4,3}	$6a^{2}\,$	$a^{3}\,$
正八面体	正三角形	12	6	{3,4}	$2{\sqrt {3}}a^{2}$ $\simeq 3.464a^{2}$	${{\sqrt {2}} \over 3}a^{3}$ $\simeq 0.471a^{3}$
正十二面体	正五角形	30	20	{5,3}	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}$ $\simeq 20.65a^{2}$	${15+7{\sqrt {5}} \over 4}a^{3}$ $\simeq 7.663a^{3}$
正二十面体	正三角形	30	12	{3,5}	$5{\sqrt {3}}a^{2}$ $\simeq 8.660a^{2}$	${5 \over 12}(3+{\sqrt {5}})a^{3}$ $\simeq 2.182a^{3}$