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'''フレシェ分布'''({{lang-en|Fréchet distribution}}) は逆[[ワイブル分布]]としても知られている。フレシェ分布は、[[ガンベル分布]](タイプIの極値分布)、[[ワイブル分布]](タイプIIIの極値分布)とともに、一般化[[極値分布]]({{lang-en|generalized extreme value distribution}})の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。 |
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フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者[[モーリス・ルネ・フレシェ]]に由来する |
フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者[[モーリス・ルネ・フレシェ]]に由来する{{Sfn|高橋倫也|志村隆彰|2016}}。 |
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== 研究の発展 == |
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モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している |
モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している{{Sfn|Fréchet|1927}}{{Sfn|Kotz|Nadarajah|2000}}。フレシェ分布の研究は、さらに、[[ロナルド・フィッシャー]]とL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている{{Sfn|Fisher|Tippett|1928}}。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布が[[ガンベル分布]](タイプI)、フレシェ分布、[[ワイブル分布]](タイプIII)の3つのいずれか1つのみであることを示した{{Sfn|Fisher|Tippett|1928}}。[[エミール・ユリウス・ガンベル]]は、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた{{Sfn|Gumbel|1958}}。 |
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== 定義と性質 == |
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フレシェ分布の累積分布関数は |
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==一般化フレシェ分布== |
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:<math>F(x)=\Pr(X \le x)=e^{-\left(\frac{x-m}{s}\right)^{-\alpha}} \text{ if } x>m. |
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* Alves, I. F., & Neves, C. (2011). Extreme value distributions. International encyclopedia of statistical science, 493-496. https://www.researchgate.net/publication/234154838_Extreme_Value_Distributions |
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* Beirlant |
* {{Cite journal |last=Beirlant |first=Jan |last2=Goegebeur |first2=Yuri |last3=Teugels |first3=Jozef |last4=Segers |first4=Johan |date=2004-08-27 |title=Statistics of Extremes: Theory and Applications |url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/book/10.1002/0470012382 |publisher=Wiley |language=en |ref=harv |DOI=10.1002/0470012382 |doi=10.1002/0470012382 |isbn=978-0-471-97647-9}}<!-- 未使用 --> |
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* |
* {{Cite book |ref=harv |last=Coles |first=Stuart |title=An introduction to statistical modeling of extreme values |edition=1 |date=27 November 2013 |publisher=Springer London |language=en |isbn=978-1-4471-3675-0 |location=London |oclc=883391507 |doi=10.1007/978-1-4471-3675-0 |type=eBook}} |
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* |
* {{Cite journal |last=Eaton |first=Jonathan |last2=Kortum |first2=Samuel |date=2002-09 |title=Technology, Geography, and Trade |url=http://doi.wiley.com/10.1111/1468-0262.00352 |journal=Econometrica |volume=70 |issue=5 |pages=1741–1779 |language=en |ref=harv |DOI=10.1111/1468-0262.00352 |doi=10.1111/1468-0262.00352 |issn=0012-9682}} |
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* Fréchet |
* {{Cite journal |last=Fréchet |first=M |date=1927 |title=Sur la loi de probabilite de l'ecart maximum |journal=Ann. de la Soc. Polonaise de Math. |volume=6 |pages=93–116 |ref=harv}} |
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* Fisher |
* {{Cite journal |last=Fisher |first=R. A. |last2=Tippett |first2=L. H. C. |date=1928-04 |title=Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample |url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-proceedings-of-the-cambridge-philosophical-society/article/abs/limiting-forms-of-the-frequency-distribution-of-the-largest-or-smallest-member-of-a-sample/7BE8DE65FCDFC3ABECFE1054DFB56CB5 |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume=24 |issue=2 |pages=180–190 |language=en |ref=harv |DOI=10.1017/S0305004100015681 |doi=10.1017/S0305004100015681 |issn=1469-8064}} |
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* Gumbel |
* {{Cite book |ref=harv |last=Gumbel |first=E. J. |title=Statistics of Extremes |date=1958-03-02 |publisher=Columbia University Press |language=en |isbn=978-0-231-89131-8 |url=https://www.degruyter.com/document/doi/10.7312/gumb92958/html |doi=10.7312/gumb92958}} |
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* {{Cite journal |last=Kotz |first=Samuel |last2=Nadarajah |first2=Saralees |month=10 |year=2000 |title=Extreme Value Distributions |url=https://doi.org/10.1142/p191 |publisher=PUBLISHED BY IMPERIAL COLLEGE PRESS AND DISTRIBUTED BY WORLD SCIENTIFIC PUBLISHING CO. |language=en |ref=harv |DOI=10.1142/p191 |doi=10.1142/p191 |isbn=978-1-86094-224-2}} |
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* Kotz, S.; Nadarajah, S. (2000) ''Extreme value distributions: theory and applications'', World Scientific. https://doi.org/10.1142/p191 |
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* {{Cite book |和書 |ref=harv |author=高橋倫也 |title=極値統計学 |edition=初版 |date=2016年8月31日 |publisher=近代科学社 |isbn=978-4-7649-7070-0 |author2=志村隆彰 |oclc=961831235}} |
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* 高橋倫也, & 志村隆彰. (2016). 極値統計学. 近代科学社. |
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[[Category:確率分布]] |
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2023年1月15日 (日) 03:19時点における最新版
母数 |
形状母数. (以下の2つのパラメータを追加できる) 尺度母数 (標準分布で ) 位置母数 (標準分布で ) |
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台 | |
確率密度関数 | |
累積分布関数 | |
期待値 | |
中央値 | |
最頻値 | |
分散 | |
歪度 | |
尖度 | |
エントロピー | , ここで はオイラー・マスケローニ定数。 |
モーメント母関数 | モーメント が ならば存在する。 |
フレシェ分布(英語: Fréchet distribution) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布(タイプIの極値分布)、ワイブル分布(タイプIIIの極値分布)とともに、一般化極値分布(英語: generalized extreme value distribution)の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。
フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する[1]。
研究の発展[編集]
モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している[2][3]。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている[4]。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布(タイプI)、フレシェ分布、ワイブル分布(タイプIII)の3つのいずれか1つのみであることを示した[4]。エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた[5]。
定義と性質[編集]
フレシェ分布の累積分布関数は
である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は
となる。
フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。
- 期待値はとなる。
- 分散はとなる。
ここで、はガンマ関数であり、
である。
ガンベル分布(タイプI)、フレシェ分布(タイプII)、ワイブル分布(タイプIII)は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる[6]。
一般化フレシェ分布[編集]
位置パラメータ m(最小値)と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる[7]。 一般化フレシェ分布の累積分布関数は
である。 一般化フレシェ分布の確率密度関数は
となる。
応用例[編集]
- 水文学
- フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。
- 金融
- フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた[7]。
- 国際経済学(貿易論)
- リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 () の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した[8]。
- ここで、 が形状パラメータ(定義式の)に相当する。 が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。 は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる[8]。
脚注[編集]
注釈[編集]
出典[編集]
- ^ 高橋倫也 & 志村隆彰 2016.
- ^ Fréchet 1927.
- ^ Kotz & Nadarajah 2000.
- ^ a b Fisher & Tippett 1928.
- ^ Gumbel 1958.
- ^ Coles 2013, p. 47.
- ^ a b Alves & Neves 2011.
- ^ a b Eaton & Kortum 2002.
参考文献[編集]
- Alves, Isabel Fraga; Neves, Cláudia (2011). Lovric, Miodrag. ed (英語). Extreme Value Distributions. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 493–496. doi:10.1007/978-3-642-04898-2_246. ISBN 978-3-642-04898-2 .
- Beirlant, Jan; Goegebeur, Yuri; Teugels, Jozef; Segers, Johan (2004-08-27) (英語). Statistics of Extremes: Theory and Applications. Wiley. doi:10.1002/0470012382. ISBN 978-0-471-97647-9 .
- Coles, Stuart (27 November 2013) (英語). An introduction to statistical modeling of extreme values (eBook) (1 ed.). London: Springer London. doi:10.1007/978-1-4471-3675-0. ISBN 978-1-4471-3675-0. OCLC 883391507
- Eaton, Jonathan; Kortum, Samuel (2002-09). “Technology, Geography, and Trade” (英語). Econometrica 70 (5): 1741–1779. doi:10.1111/1468-0262.00352. ISSN 0012-9682 .
- Eaton, Jonathan; Kortum, Samuel (2012-05). “Putting Ricardo to Work” (英語). Journal of Economic Perspectives 26 (2): 65–90. doi:10.1257/jep.26.2.65. ISSN 0895-3309 .
- Fréchet, M (1927). “Sur la loi de probabilite de l'ecart maximum”. Ann. de la Soc. Polonaise de Math. 6: 93–116.
- Fisher, R. A.; Tippett, L. H. C. (1928-04). “Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample” (英語). Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 24 (2): 180–190. doi:10.1017/S0305004100015681. ISSN 1469-8064 .
- Gumbel, E. J. (1958-03-02) (英語). Statistics of Extremes. Columbia University Press. doi:10.7312/gumb92958. ISBN 978-0-231-89131-8
- Kotz, Samuel; Nadarajah, Saralees (10 2000) (英語). Extreme Value Distributions. PUBLISHED BY IMPERIAL COLLEGE PRESS AND DISTRIBUTED BY WORLD SCIENTIFIC PUBLISHING CO.. doi:10.1142/p191. ISBN 978-1-86094-224-2 .
- 高橋倫也、志村隆彰『極値統計学』(初版)近代科学社、2016年8月31日。ISBN 978-4-7649-7070-0。OCLC 961831235。
関連項目[編集]
- 確率分布
- 極値分布
- ガンベル分布(タイプIの極値分布)
- ワイブル分布(タイプIIIの極値分布)
- モーリス・ルネ・フレシェ