オイラーの公式

オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、φ は複素数 e^iφ の偏角である。

数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）は、複素指数函数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

ここで e^· は指数関数、i は虚数単位、cos ·, sin · はそれぞれ余弦関数および正弦関数である。任意の複素数 θ に対して成り立つ等式であるが、特に θ が実数である場合が重要でありよく使われる。θ が実数のとき、θ は複素数 e^iθ がなす複素平面上の偏角（角度 θ の単位はラジアン）に対応する。

公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に

$\log \left(\cos x+i\sin x\right)=ix\$

を発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。

1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった。

この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。

オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θ をパラメータとする曲線 e^iθ は、複素平面上の単位円をなす。 特に、θ = π のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、

$e^{i\pi }=-1$

となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる。

θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。

オイラーの公式は、三角関数 cos θ, sin θ が双曲線関数 cosh(iθ), sinh(iθ)/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などを利用しやすくする。

指数関数と三角関数

実関数として定義される指数関数 e^x および三角関数 cos x, sin x を各々マクローリン展開すれば

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\mbox{ for all }}x$

(1)

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\,x^{2n}\quad {\mbox{ for all }}x$

(2)

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\,x^{2n+1}\quad {\mbox{ for all }}x$

(3)

となる。これらの級数の収束半径が ∞ であることはダランベールの収束判定法によって確認することができる。従ってこれらの級数は、x を複素変数と見て全複素平面上広義一様に絶対収束し、これらの級数によって表される関数は整関数である。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。

ここで、 e^x の x を ix に置き換え、e^ix の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば

${\begin{aligned}e^{ix}&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}x^{n}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n}}{(2n)!}}x^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n+1}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\end{aligned}}$

が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

が得られる。

この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。 たとえば、三角関数の加法定理は、指数法則 e^ae^b = e^{a + b} に対応していることが分かる。

オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、

${\begin{aligned}\cos z&={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}},\\\sin z&={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\end{aligned}}$

という表現が得られる。

証明

この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。ただし、以下の微分を用いた証明については、実変数を複素数変数におき換えても、これらの議論が成立していることを、別途で証明する必要がある(複素解析論)。

微分による証明

証明 — 関数の微分を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。

$f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.$

(1)

f (x) を形式的に微分すると以下のようになる。

${\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix}+(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix}\\&=\left\{(-\sin x-i\cos x)+(i\cos x+\sin x)\right\}\cdot e^{ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0\end{aligned}}$

したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f (x) が定数関数であることと同値である。よって f (x) = f (0) より、

$f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1$

(2)

となる。(2) を (1) に代入すると次のようになる。

$(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}=1.$

(3)

ここで (3) の両辺に、(cos x - i sin x) の複素共役 (cos x + i sin x) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin²x + cos²x = 1 よりオイラーの公式が得られる。

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

証明 — 別の証明として、実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。

$f(x){\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}.$

(4)

f (x) を x について微分すると以下のようになる。

${\begin{aligned}f'(x)&=(\cos x+i\sin x)'\cdot e^{-ix}+(\cos x+i\sin x)\cdot (e^{-ix})'\qquad {\mbox{(Leibniz's rule)}}\\&=(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{-ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot ie^{-ix}\\&=(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)\cdot e^{-ix}\qquad (i^{2}=-1)\\&=0.\end{aligned}}$

したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。 ゆえに f (x) は定数である。 よって f (x) = f (0) より

$f(x)=(\cos 0+i\sin 0)\cdot e^{-i\cdot 0}=1$

(5)

が成り立つ。 (5) を (4) に代入すると

$(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix}=1$

が導出される。この両辺に e^ix を掛け、任意の複素数 a, b に対して成り立つ指数法則 e^ae^b = e^{a + b} を利用すれば

${\begin{aligned}e^{ix}&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{ix}e^{-ix}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{(ix-ix)}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot e^{0}\\&=(\cos x+i\sin x)\cdot 1.\end{aligned}}$

以上より

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

微分方程式による証明

証明 — 微分方程式を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x) を以下のように定義する。

$f(x)=\cos x+i\sin x.$

また記法を簡潔にするために補助的な方程式

$y=f(x)$

によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。

$y=\cos x+i\sin x.$

(1)

(1) に x = 0 を代入すると

$y=\cos 0+i\sin 0=1$

(2)

を得る。(1) の両辺を x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。

$i{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\underbrace {-i\sin x} _{{\frac {\mathrm {d} \cos x}{\mathrm {d} x}}=-\sin x}-\underbrace {\cos x} _{{\frac {\mathrm {d} \sin x}{\mathrm {d} x}}=\cos x}$

(3)

(3) と (1) より

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=iy$

(4)

を得る。任意の 0 でない複素数 α について、関数 e^αx は次の関係を満たす。

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} (\alpha x)}}e^{\alpha x}=e^{\alpha x}.$

(5)

(4) と (5) を見比べ、α = i と置き換えれば、f(0) = 1 より

$y=e^{ix}$

(6)

が成り立つ。最後に (1) および (6) から y を消去すればオイラーの公式が得られる。

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

2階線型微分方程式による証明

証明 — 2階線型微分方程式を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数

${\begin{cases}\displaystyle y=e^{ix}\\\displaystyle y=\cos x\\\displaystyle y=\sin x\end{cases}}$

(1)

はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。

${\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{{\mathrm {d} x}^{2}}}+y=0.$

(2)

(2) は斉次な方程式なので、一般解は基本解の線型結合として表すことができる。 cos x と sin x は (2) の基本解である。実際、ロンスキー行列式

${\begin{vmatrix}\cos x&\sin x\\-\sin x&\cos x\end{vmatrix}}=\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1$

は 0 にならない。よって、(1) および (2) より

$e^{ix}=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x$

(3)

が成立する。また、(3) の両辺を微分したものは

$ie^{ix}=-C_{1}\sin x+C_{2}\cos x$

(4)

となる。(3), (4) に x = 0 を代入したものはそれぞれ、

${\begin{aligned}1=C_{1}\\i=C_{2}\end{aligned}}$

(5)

となるので、(5) より (3) の線型結合はオイラーの公式を与える。

$e^{ix}=\cos x+i\sin x.$

ロンスキー行列による証明

証明 —

$|W|={\begin{vmatrix}e^{ix}&\cos x+i\sin x\\ie^{ix}&-\sin x+i\cos x\end{vmatrix}}=e^{ix}(-\sin x+i\cos x)-e^{ix}(i\cos x-\sin x)=0$

として cos x + i sin x と e^ix が線型従属であることを確認する。 ここで、ある定数 C について

$e^{ix}=C(\cos x+i\sin x)$

が成立する。ここで x = 0 を代入すると C = 1 となり

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

が得られる。

ド・モアブルの定理による証明

証明 — ド・モアブルの定理を用いた証明を示す。 ド・モアブルの定理より

${\begin{aligned}\cos n\theta +i\sin n\theta &=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n},\\\cos n\theta -i\sin n\theta &=(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.\end{aligned}}$

辺々加えて

$2\cos n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}.$

右辺の 2 つの項を二項定理によって展開すれば、i の奇数乗の項は相殺し、i の偶数乗の項だけを二重に加えることになるので

${\begin{aligned}\cos n\theta &=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n-2k}(\sin \theta )^{2k}\\&=\sum _{k=0}^{\left[{\tfrac {n}{2}}\right]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\ (\cos \theta )^{n}(\tan \theta )^{2k}\end{aligned}}$

を得る。これが cos θ の n 倍角の公式の閉じた表示式である（[s] は s の整数部分）。 この式において nθ = x と置き換えると

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}.$

和の上端を ∞ に書き直したが、k > n/2 のとき二項係数の部分が 0 になるので、これは n/2 までの和に等しい。 n → ∞ の極限においては

$\cos {\frac {x}{n}}\sim 1\ ,\ \sin {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}\ ,\ \tan {\frac {x}{n}}\sim {\frac {x}{n}}$

となり、各項目において漸近的に等しいことが確認できる。 したがって

${\binom {n}{2k}}\sim {\frac {n^{2k}}{(2k)!}}\ ,\ \left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\sim 1\ ,\ \left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k}\sim {\frac {x^{2k}}{n^{2k}}}$

となる。よって

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}$

が得られる。 同様に sin x について考えれば

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}\left(\tan {\frac {x}{n}}\right)^{2k+1}$

より

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}$

が得られる。 ここで、n → ∞ の極限を取った際の誤差項の挙動を考えると

$\cos {\frac {x}{n}}=1+a_{n}$

とおけば

${\begin{aligned}\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}&=\left(1+a_{n}\right)^{n}\\&=1+na_{n}+{\binom {n}{2}}a_{n}^{2}+\dotsb \end{aligned}}$

であるから、a_n が小さいとき、n 乗すると誤差はおよそ n 倍されるが、a_n が 1/n よりも早く 0 に近づくときには、極限に影響しない。 本議論において

${\begin{aligned}a_{n}&=\cos {\frac {x}{n}}-1\\&=-2\sin ^{2}{\frac {x}{2n}}\end{aligned}}$

であるから

$a_{n}\sim -{\frac {x^{2}}{2n^{2}}}$

となる。 したがって、ランダウの記号を用いて漸近挙動を示せば

$\cos {\frac {x}{n}}=1+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right).$

ゆえに

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}\right)^{n}=1.$

ここで、ド・モアブルの定理に立ち返って

$\cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.$

上記式において nθ = x とおくと

$\cos x+i\sin x=\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

ここで、n → ∞ の極限をとったとき

$\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}=1+{\frac {ix}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)$

であるから

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\cos {\frac {x}{n}}+i\sin {\frac {x}{n}}\right)^{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {ix}{n}}\right)^{n}=e^{ix}.$

よって

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

が得られる。

関連項目

• ド・モアブルの定理
• オイラーの等式
• 複素平面
  • 虚数単位
  • 極座標
• 初等関数
  • 指数関数
  • 三角関数
  • 双曲線関数
  • 自然対数（オイラーの公式は複素数の対数関数に関する研究から発見された）
• フーリエ級数
• 微分方程式

参考文献

• リチャード・ファインマン 著、坪井忠二 訳『力学』 I、岩波書店〈ファインマン物理学〉、1977年、294, 307頁。ISBN 4-00-007711-2。OCLC 47339138。 
• 吉田武『オイラーの贈物—人類の至宝 e^iπ = −1 を学ぶ』（新装版）東海大学出版会、2010年。ISBN 978-448601863-6。OCLC 502982012。 
• 小笠英志『相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』ベレ出版、2011年、165-171頁。ISBN 978-486064-267-9。 
• 　藤田宏『応用数学 (放送大学教材)』放送大学教育振興会、1993年。ISBN 978-4595-56532-8。 
• Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. ISBN 978-088385328-3. http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf 
• 杉浦光夫『解析入門I』東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5。 
• 田村二郎『解析関数（新版）』裳華房〈数学選書3〉、1983年。ISBN 978-4-7853-1307-4。