コーシーの積分公式

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コーシーの積分公式(コーシーのせきぶんこうしき)は、コーシーの第2定理コーシーの積分表示 (Cauchy's integral expression) ともいわれ、オーギュスタン=ルイ・コーシーによって示された、数学、特に微分積分学において、ガウス平面上である領域において正則ではない点が存在する場合の関数の経路積分についての定理で、複素積分の重要な定理の一つである。

公式[編集]

この公式は領域の中に正則ではない点が存在する場合の考えが示されている。

D単連結領域とし、f(z) は D 上で正則である関数とするとき、CD 内にある長さを持つ単純閉曲線とする。C によって囲まれる領域の任意の 1 点 a において、以下の式が成立する。

 f(a) = \frac{1}{2 \pi i}\int_C \frac{f(z)}{z-a}dz\

また、この式を用いて f(z) の n 階複素導関数を与えることができる。az に置き換えて、積分変数を ζ で置き換えると

 f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta\

被積分関数は任意の自然数 n に対し n微分可能である。この微分と積分は交換できて、n 階の導関数は以下のようになる。これはグルサの定理(Goursat's theorem)と呼ばれる。

 f^{(n)} (z) = \frac{n!}{2 \pi i}\int_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}} d\zeta\

関連項目[編集]