コーシーの積分定理

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コーシーの積分定理(コーシーのせきぶんていり、Cauchy's integral theorem)は、コーシーの第1定理ともいわれ、オーギュスタン=ルイ・コーシーによって示された、数学、特に微分積分学において、ガウス平面上である領域において正則である関数の経路積分についての定理で、複素積分における代表的な定理である。

定理など[編集]

コーシーの積分定理は次のように記述されることが多い。

D単連結領域とし、f(z) は D 上で正則である複素関数とするとき、CD 内にある長さを持つ閉曲線とすると、

 \oint_C f(z) \, dz\ = 0

つまり、ある領域を囲む曲線で複素積分をするとき、領域内に正則ではない部分が存在しない場合には積分の値は必ず 0 となることを主張している。

この定理はまた、正則関数が無限回微分できる性質の裏返しでもある。複素積分(線積分)とは定積分であるから、領域内に \ dF/dz = f となるような別の正則関数 \ F が存在する場合に、始点と終点を定めれば積分路によらず

 \int_{a}^{b} f(z) \, dz\ = F(b) - F(a)

となる。このとき閉曲線、つまり始点と終点が一致する場合に値が 0 になることは自明である。コーシーの積分定理は、単連結領域上の正則関数には、このような \ F が常に存在することを意味している。

証明[編集]

この定理の証明はグリーンの定理コーシー・リーマンの関係式を用いるとよい。 証明は複素積分の定義から導くことができる。


\oint_C f(z)dz = \oint_C \{u(x,y)+iv(x,y)\}(dx+idy)

= \oint_C (udx-vdy) + i \oint_C (udy+vdx)

= -\iint_D \biggl (\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \biggr )dxdy
 + i \iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \biggr ) dxdy

ここで、正則関数であればコーシー・リーマンの関係式が成立するので、実部と虚部の項が0になる。

上に書いた形でのコーシーの積分定理は、20 世紀にグールサ(Edmund Goursat)によって証明された[1]。それまでの証明では f の微分可能性だけでなく、導関数の連続性が仮定されていた。

脚注[編集]

  1. ^ Edmund Goursat,"Sur la définition générale des fonctions analytiques, d'après Cauchy," Transactions of the American Mathematical Society, 1, No. 1, pp.14–16 doi:10.1090/S0002-9947-1900-1500519-7

関連項目[編集]