定数関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動先: 案内検索

数学の分野における定数関数(ていすうかんすう、: constant function)あるいは定値写像とは、値の変動しない、すなわち定数であるような関数あるいは写像のことを言う。例えば、関数 f(x) = 4 はすべての値を 4 へと写すため、定数関数である。より正式に、関数 fAB が定数関数であるとは、A 内のすべての xy に対して f(x) = f(y) が成立することを言う[1]

すべての空関数は、空虚な意味で英語版、定数関数である[2]。なぜならば、空集合 A に対して、f(x) と f(y) が異なるような A 内の元 xy は存在しないからである。

多項式関数の文脈では、ゼロでない定数関数は次数ゼロの多項式と呼ばれる。

関数が恒等的にゼロ (identically zero) であるとは、すべての引数に対するその値が 0 であることを言う。したがって、そのような関数が定数関数であることは明らかである。

性質[編集]

定数関数は、合成関数に関して、二つの方法で特徴づけられる。

次の条件はすべて同値である:

  1. fAB は定数関数である。
  2. すべての関数 g, hCA に対して、f o g = f o h が成り立つ(ここで "o" は関数の合成を表す)。
  3. f と他の任意の関数との合成は、定数関数である。

上述の定数関数についての初めの特徴づけは、圏論の分野におけるより一般的な定数射英語版の概念の性質を定義する上での動機となるものである。

関数の微分は、定義に従えば、引数の変動に対してその関数がどの程度変化するかということを測るものである。定数関数は変化しないために、その微分はゼロである。したがって、例えば次が成り立つ:

  • f を、ある区間上で定義される実数値関数であるとしたとき、f が定数関数であるための必要十分条件は、f の微分が至る所でゼロであることである。

前順序集合英語版の間の定値写像は、順序を保存しかつ順序を逆にする写像である。逆に、f が順序を保存し、かつ逆にする写像であり、さらに f定義域であるなら、f は必ず定値写像である。

定値写像の性質には、他に次のようなものがある:

連結集合上の関数が局所定数関数であるための必要十分条件は、それが定数関数であることである。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Bourbaki 2006, E II.15.
  2. ^ 斎藤 (2009) は、写像 f: XY が定値写像であることを、cY として、すべての元 xXcY にうつす写像と定義した後、空集合の恒等写像も定値写像とよぶ、としており (pp. 24–25)、Bourbaki による定義と一致する。一方、松坂 (1968) は、A, B を任意の集合とするとき、B の元 b0 を1つきめて、A の任意の元 a に対し φ(a) = b0 と定められた A から B への写像のことを定値写像と呼んでおり (p. 28)、空集合への空写像は定値とならない。

参考文献[編集]

  • 斎藤, 毅 『集合と位相』 東京大学出版会〈大学数学の入門8〉、2009年ISBN 978-4-13-062958-4
  • 松坂, 和夫 『集合・位相入門』 岩波書店、1968年ISBN 4-00-005424-4
  • Bourbaki, N. (2006). Éléments de mathématique, Théorie des Ensembles. Springer. ISBN 978-3-540-34034-8. 
  • Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
  • Constant function - PlanetMath.org(英語)