リウヴィルの定理 (解析学)

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リウヴィルの定理(Liouville's theorem)は、有界整関数は定数関数に限るということを主張する複素解析定理である。ジョゼフ・リウヴィルにちなむ。整関数とは複素平面全体において正則(複素微分可能)な関数をいう。有界であるとは

\exists{M\in\mathbb{R}},\ \forall{z\in\mathbb{C}},\ |f(z)|\le{M}

であることをいう。

証明[編集]

f(z) を整関数で、M を定数、任意の zC に対して |f(z)| ≤ M とする。f を原点を中心にTaylor展開する:

f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n.

コーシーの積分公式により

a_{n}={\frac  {f^{{(n)}}(0)}{n!}}={\frac  {1}{2{\pi }i}}\oint _{{C_{r}}}{\frac  {f(\zeta )}{\zeta ^{{n+1}}}}\,d\zeta

である。ただし、Cr は原点を中心とする半径 r > 0 の円である。仮定により |f(z)| ≤ M であるから


|a_n|\le\frac{1}{2\pi}\oint_{C_r}\frac{|f(\zeta)|}{|\zeta|^{n+1}}\,|d\zeta|
\le \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{M}{r^{n+1}}\,r\,d\theta
= \frac{M}{r^n}

である。r は任意であるから n ≥ 1 のとき r → +∞ として an = 0 を得る。

適用例[編集]

以下の記事にリウヴィルの定理を適用する例がある。

参考文献[編集]

  • 野口, 潤次郎 『複素解析概論』 裳華房〈数学選書12〉、2002年、第6版。ISBN 978-4-7853-1314-2