三角関数の部分分数展開

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数学において、三角関数は以下のように部分分数に展開される。

証明[編集]

初めに余接関数の部分分数展開について示す。そのために

として、恒等的にであることを確かめる。の極限において

であるからは除去され、であるから実軸上に並ぶ他の極も除去される。従って、において有界である。と書き

を仮定すれば

の置換により

となるから、において有界であるが、であるから複素平面全体においても有界である。従って、リウヴィルの定理によりである。

他の関数については

円周率の公式[編集]

余接関数の部分分数展開の両辺を微分して比較することにより

が導かれる。(→バーゼル問題