ヤコビの三重積

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索

ヤコビの三重積 (Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。


\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}}
=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}

但し、\operatorname{Im}{\tau}>0とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、 q=e^{{\pi}i{\tau}},z=e^{2{\pi}iv}と置くことにより

\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n^2}z^{n}}=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}z\right)\left(1+q^{2m-1}z^{-1}\right)}

或いは、q=e^{{\pi}i{\tau}},z=e^{-{\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}と置くことにより


\sum_{n=-\infty}^{\infty}{q^{n(n+1)}z^{n}}
=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m}z\right)\left(1+q^{2m-2}z^{-1}\right)}

となり、数論にも適する形になる。

証明[編集]

直接の証明[編集]

左辺を\vartheta(v,\tau)、右辺を\Theta(v,\tau)と置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。

\begin{align}\Theta(v+1,\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}i(v+1)}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+1)}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\Theta(v,\tau)
\end{align}
\begin{align}\Theta(v+\tau,\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m+1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-3){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\frac{1+e^{-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}}{1+e^{{\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\frac{e^{-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}+1}{1+e^{{\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}\\
&=e^{-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\Theta(v,\tau)
\end{align}

\operatorname{Im}{\tau}>0により|e^{2m{\pi}i{\tau}}|<1であるから、右辺の零点は

\begin{align}
\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)&=0\\
\end{align}
\begin{align}
\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)&=0\\
\end{align}
\begin{align}
\cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\
\cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\
2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\
v&=\frac{1+\tau}{2}+n'+m'{\tau}
\end{align}

に限られる。一方、左辺は

\begin{align}\vartheta(v+1;\tau)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(v+1)}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}}\\
&=\vartheta(v;\tau)\\
\end{align}
\begin{align}\vartheta(v+\tau;\tau)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(v+\tau)}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}(n+1)^2-{\pi}i{\tau}+2{\pi}i(n+1)v-2{\pi}iv}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2-{\pi}i{\tau}+2{\pi}inv-2{\pi}iv}}\\
&=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta(v;\tau)\\
\end{align}
\begin{align}\vartheta_3(\frac{1+\tau}{2};\tau)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(\frac{1+\tau}{2})}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{{\pi}i{\tau}(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}{\pi}i{\tau}}}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n}e^{{\pi}i{\tau}(n+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}{\pi}i{\tau}}}
+\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n+1}e^{{\pi}i{\tau}(-n-1+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}{\pi}i{\tau}}}\\

&=0
\end{align}

であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、


c(\tau,v)=\frac{\vartheta(v,\tau)}{\Theta(v,\tau)}=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}inv}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}\right)}}

vに依存しない。

\begin{align}c\left(\textstyle\frac{1}{2},\tau\right)
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+{\pi}in}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
\end{align}
\begin{align}c\left(\textstyle\frac{1}{4},\tau\right)
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2+{\pi}in/2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i/2}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i/2}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+ie^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-ie^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(4m-2){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-i)^{n}e^{{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{8m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
\end{align}

分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。

\begin{align}c\left(\textstyle\frac{1}{4},\tau\right)
&=\frac{\sum_{n=-\infty}^{\infty}{(-1)^{n}e^{4{\pi}i{\tau}n^2}}}{\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{8m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(8m-4){\pi}i{\tau}}\right)}}\\
&=c\left(\textstyle\frac{1}{2},4\tau\right)
\end{align}

c(v,\tau)vに依存しないから

c\left(v,4\tau\right)=c\left(v,\tau\right)=\lim_{n\to\infty}c\left(v,4^{-n}\tau\right)=\lim_{\tau'\to0}c\left(v,\tau'\right)=c(v,0)

であり、c(v,\tau)\tauにも依存しない定数である。\tau\to{+i}\inftyとしてc(v,\tau)=1を得る。結局、両辺は等しい。

ラマヌジャンの和公式による証明[編集]

ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式

\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|<1,|b/a|<|z|<1)

q二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式にb=0を代入すると

\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a;q)_nz^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(q/az;q\right)_\infty}{(z;q)_\infty\left(q/a;q\right)_\infty}

となり、qq^2と書き、z-qz/aと書けば

\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a;q^2)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}=\frac{(-qz;q^2)_\infty(q^2;q^2)_\infty\left(-q/z;q^2\right)_\infty}{(-qz/a;q^2)_\infty\left(q^2/a;q^2\right)_\infty}

となる。qポッホハマー記号の変換式

\left(aq^{-n+1};q\right)_n=\left(-a\right)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\frac{1}{a};q\right)_n

により、右辺は

\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(a;q^2)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(aq^{2n-2}q^{-2n+2};q^2)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-aq^{2n-2})^nq^{-2n(n-1)/2}(1/aq^{2n-2};q)_n\left(-\frac{qz}{a}\right)^{n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^n(1/aq^{2n-2};q)_n\\
\end{align}

であるから、a\to\inftyの極限を取れば

\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^{n}=(-qz;q^2)_\infty(q^2;q^2)_\infty\left(-q/z;q^2\right)_\infty

となり、qポッホハマー記号を展開して

\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{n^2}z^{n}=\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{2m})(1+q^{2m-1}/z)(1+q^{2m-1}z)

を得る。

関連項目[編集]