ヤコビの三重積

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ヤコビの三重積 (Jacobi triple product)とは、次の恒等式をいう。

但し、とする。この恒等式はヤコビによるテータ関数の研究から生まれたものであるが、 と置くことにより

或いは、と置くことにより

となり、数論にも適する形になる。

証明[編集]

直接の証明[編集]

左辺を、右辺をと置き、まず、右辺が疑二重周期を持つことを示す。

によりであるから、右辺の零点は

に限られる。一方、左辺は

であるから、右辺と同じ準二重周期を持ち、少なくとも右辺が零点を持つところに悉く零点を持つ。従って、リウヴィルの定理により、

に依存しない。

分子の級数においてnが奇数の項は正負で打ち消しあうから2nをnに置き換える。

に依存しないから

であり、にも依存しない定数である。としてを得る。結局、両辺は等しい。

ラマヌジャンの和公式による証明[編集]

ヤコビの三重積はラマヌジャンの和公式の特殊な場合である。ラマヌジャンの和公式

q二項定理から導かれる。ラマヌジャンの和公式にを代入すると

となり、と書き、と書けば

となる。qポッホハマー記号の変換式

により、右辺は

であるから、の極限を取れば

となり、qポッホハマー記号を展開して

を得る。

関連項目[編集]