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数学におけるヤコビ恒等式(Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。
集合
に二項演算
と可換かつ単位元
を持つ二項演算
が定義され、この
について、

が成立するとき、
はヤコビ恒等式を満たすという。
が
によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、
の元は
に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。
式の解釈[編集]
が
によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は

という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。
- 三次元ベクトルにおける外積
三次元のベクトル空間における外積(クロス積)はヤコビ恒等式を満たす。

- リー環
リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。
![[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668d73c3adc03a42f4895d490d4fee5d4034d0fe)
括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、
![\mathrm{ad}_X(Y)=[X,Y] \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75c7392a2582d134b71b24206f261c1ed578b00)
と表せば、上述のヤコビ恒等式は
![\mathrm{ad}_Z([X,Y])=[\mathrm{ad}_Z(X),Y]+[X,\mathrm{ad}_Z(Y)]
\,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77aa2f116a97b67cb72fb88ffa102618ea2bce1d)
であり、ライプニッツ則として解釈できる。
- ポアソン括弧
解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

- 交換関係
量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。
![[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b4600386628eaabba0ec396f07c9ed54a38860)
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