ヤコビ恒等式

数学におけるヤコビ恒等式(Jacobi identity)とは、二項演算に対して考えられる性質の一つ。名前はドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビに由来する。

定義[編集]

集合 $S$ に二項演算 $*$ と可換かつ単位元 $0$ を持つ二項演算 $+$ が定義され、この $(S,+,*)$ について、

a*(b*c)+c*(a*b)+b*(c*a)=0\quad \forall {a,b,c}\in S.

が成立するとき、 $(S,+,*)$ はヤコビ恒等式を満たすという。

$S$ が $+$ によって加法群の構造を持ち、ねじれ元を持たないとき、 $S$ の元は $*$ に関して冪零である。実際上記の恒等式で a = b = c とおけばよい。

$S$ が $+$ によって加法群の構造を持つとしよう。このときヤコビ恒等式は

x*(b*c)=-c*(x*b)-b*(c*x)

という形で書くことができる。左辺を x に対する b * c の随伴作用と解釈すると、右辺はそれを b の作用と c の作用で逐次的に行って実現するものと解釈することができる。

三次元のベクトル空間における外積（クロス積）はヤコビ恒等式を満たす。

\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {0}

リー環における積演算である括弧積はヤコビ恒等式を満たす。

[[X,Y],Z]+[[Z,X],Y]+[[Y,Z],X]=0\,

括弧積を随伴作用と考えれば、環上の微分におけるライプニッツ則として捉えることができる。すなわち、

\mathrm {ad} _{X}(Y)=[X,Y]\,

と表せば、上述のヤコビ恒等式は

\mathrm {ad} _{Z}([X,Y])=[\mathrm {ad} _{Z}(X),Y]+[X,\mathrm {ad} _{Z}(Y)]\,

であり、ライプニッツ則として解釈できる。

解析力学におけるポアソン括弧はヤコビ恒等式を満たす。

量子力学における交換子はヤコビ恒等式を満たす。

[[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0\,