ワトソンの五重積

数学において次の恒等式をワトソンの五重積 (ワトソンのごじゅうせき、Watson Quintuple Product) という。

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})$

証明

ヤコビの三重積により

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}z^{n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{2m})(1-q^{2m}z)(1-q^{2m-2}z^{-1})$

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n^{2}}z^{2n}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})(1-q^{4m-2}z^{2})(1-q^{4m-2}z^{-2})$

オイラーの五角数定理により

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{2n(3n-1)}=\prod _{m=1}^{\infty }(1-q^{4m})$

これらを用いて五重積の公式を書き直せば

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}$

となるので、この両辺が等しいことを証明する。左辺は

${\begin{aligned}L&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}(z^{3n}-z^{-3n-1})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{2m(3m-1)+n(3n+1)}z^{3n}-\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{-2m(-3m-1)-n(-3n+1)}z^{3n-1}\qquad ({m,n}\mapsto {-m,-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}-\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-n}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\qquad (m\mapsto {k-n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-k}q^{(3n-2k)(3n+1-2k)+2k^{2}}z^{3n}+\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-1-k}q^{(3n-1-2k)(3n-2k)+2k^{2}}z^{3n-1}\\\end{aligned}}$

さて

${\begin{aligned}0&=\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}-\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n(n+1)}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}q^{m(m+1)}\qquad (n\mapsto {-(m+1)})\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }(-1)^{m}(q^{6})^{m(m-1)}\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{2n-2}q^{3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{m+2n-2}q^{6m(m-1)+3n^{2}-3n+2}z^{3n-2}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{3n-2-k}q^{(3n-2-2k)(3n-1-2k)+2j^{2}}z^{3n-2}\qquad (m\mapsto {n-k})\\\end{aligned}}$

であるから

${\begin{aligned}L=L+0&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n-k}q^{(n-2k)(n+1-2k)+2k^{2}}z^{n}\qquad ({3n,3n-1,3n-2}\mapsto {n})\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{k+j}q^{j(j+1)+2k^{2}}z^{j+2k}\qquad ({n}\mapsto {j+2k})\\&=\sum _{j=-\infty }^{\infty }(-1)^{j}q^{j(j+1)}z^{j}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}q^{2k^{2}}z^{2k}\\\end{aligned}}$

となり、右辺を得る。

関連項目

• ジョージ・ネビル・ワトソン (en)
• ヤコビの三重積
• ファルカシュの七重積 (英: septuple product identity)

参考文献

• Bailey, W. N. (1951), "On the simplification of some identities of the Rogers-Ramanujan type", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1: 217–221, doi:10.1112/plms/s3-1.1.217, ISSN 0024-6115, MR 0043839
• Gordon, Basil (1961), "Some identities in combinatorial analysis", The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series, 12: 285–290, doi:10.1093/qmath/12.1.285, ISSN 0033-5606, MR 0136551
• Carlitz, L.; Subbarao, M. V. (1972), "A simple proof of the quintuple product identity", Proceedings of the American Mathematical Society, 32: 42–44, doi:10.2307/2038301, ISSN 0002-9939, JSTOR 2038301, MR 0289316
• Foata, Dominique; Han, Guo-Niu (2001). The triple, quintuple and septuple product identities revisited. The Andrews festschrift: seventeen papers on classical issue theory and combinatorics. pp. 323-334. doi:10.1007/978-3-642-56513-7_15. ISBN 978-3-642-56513-7. https://doi.org/10.1007/978-3-642-56513-7_15. 
• Cooper, Shaun (2006). “The quintuple product identity”. International Journal of Number Theory (World Scientific) 2 (01): 115-161. doi:10.1142/S1793042106000401. https://doi.org/10.1142/S1793042106000401. 

関連文献

和文

• 五重積公式のADE一般化—場の理論の視点から—河合俊哉 (PDF) , 平成29年度 (第39回) 数学入門公開講座テキスト (京都大学数理解析研究所，平成29年7月31日～8月3日開催)
• 青木宏樹「On Jacobi forms which connect infinite products and infinite sums (Research on finite groups and their representations, vertex operator algebras, and algebraic combinatorics)」『数理解析研究所講究録』第1965巻、京都大学数理解析研究所、2015年10月、30-44頁、CRID 1050282810823192320、hdl:2433/224233、ISSN 1880-2818“五重積公式について解説がある” 
• A remark on Borcherds construction of Jacobi forms (PDF) (五重積公式について解説がある)

英文

• Subbarao, M. V., & Vidyasagar, M. (1970). On Watson’s quintuple product identity. Proceedings of the American Mathematical Society, 26(1), 23-27.
• Hirschhorn, M. D. (1988). A generalisation of the quintuple product identity. Journal of the Australian Mathematical Society, 44(1), 42-45.
• Alladi, K. (1996). The quintuple product identity and shifted partition functions. en:Journal of Computational and Applied Mathematics, 68(1-2), 3-13.
• Farkas, Hershel; Kra, Irwin (1999). “On the quintuple product identity”. Proceedings of the American Mathematical Society 127 (3): 771-778. https://www.ams.org/journals/proc/1999-127-03/S0002-9939-99-04791-7/. 
• Chen, William YC; Chu, Wenchang; Gu, Nancy SS (2005). “Finite form of the quintuple product identity”. arXiv preprint math/0504277. doi:10.48550/arXiv.math/0504277. https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0504277. 
• Chu, W., & Yan, Q. (2007). Unification of the quintuple and septuple product identities. The electronic journal of combinatorics.