ラマヌジャンの和公式

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ラマヌジャンの和公式(ラマヌジャンのわこうしき、Ramanajan's summation formula)はq超幾何級数{_1\psi_1}の和を与える公式である[1]

{_1\psi_1}\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|<1,|b/a|<|z|<1)

証明[編集]

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。nが負の整数であれば

\frac{1}{(q;q)_n}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-q^{1+k})}}=\prod_{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad(-n\in\mathbb{N})

であるから、q二項定理は

\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n

と書ける。kを任意の正の整数として

\begin{align}\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}z^{n+k}\\
&=\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}z^k\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^n\\
\end{align}

であるから

\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n}
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\
&=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\
&=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty}{(z;q)_\infty(a;q)_k(q^{1+k};q)_\infty}z^{-k}\\
&=\frac{(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^kq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^kq^{-k};q)_k}z^{-k}\\
\end{align}

である。aq^kaと書き、qポッホハマー記号の変換式

\left(aq^{-n};q\right)_n=\left(-\frac{a}{q}\right)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\frac{q}{a};q\right)_n

により

\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n}
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^{-k};q)_k}z^{-k}\\
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_k}\\
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\\
\end{align}

となり、q^{1+k}bと書き、

\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}
&=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(b=q^k,k\in\mathbb{N})\\
\end{align}

となる。さて、左辺は

\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}z^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(bq^{-n};q)_n}{(aq^{-n};q)_n}z^{-n}\\
&=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{q}{b};q\right)_n}{\left(\frac{q}{a};q\right)_n}\left(\frac{b}{az}\right)^n\\
\end{align}

であるから、|q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|で収束する。従って、両辺ともbの関数として考えればb=0正則であり、b=q^k\to0で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。

出典[編集]

  1. ^ Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application