群論

群論とは、群という代数的構造の研究である。群の概念は抽象代数学の中心をなす。他の代数的構造、たとえば環・体 (数学)・ベクトル空間などは、基本的に群であり、それに演算や公理が付与されたものである。群は数学の各分野に関係し、また群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。線形代数群とリー群の理論は群論の一分野であるが、特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。

結晶や、水素原子などの物理的構造の多くは、対称群でモデル化できる。このように、群論とその表現論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。

1960年代～80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類（en:classification of finite simple groups）が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つである。

研究史

詳細は「群論の歴史」を参照

（en:History of Group Theory）

群論は、歴史的に3つの源泉がある。数論、代数方程式論、幾何学である。数論の系統は、レオンハルト・オイラーに始まり、ガウスの合同式の理論、および二次体に関係した加法群・乗法群の研究によって発展した。 置換群に関する初期の研究成果は、ラグランジュ、ルフィニ、アーベルらの、代数方程式の一般解の研究の課程で得られた。エヴァリスト・ガロアは「群」という用語を作り、今日ガロア理論という名で知られる理論によって、初期の群論と体論を結びつけた。 幾何学については、群はまず射影幾何学で、のちに非ユークリッド幾何学で重要になった。フェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムにおいて、群論は幾何学の原理を統合するものになることを予言した。

1830年代、ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。アーサー・ケイリーとコーシーはこの研究を発展させ、置換群の理論を創設した。 歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。可能な幾何学（ユークリッド幾何学、双曲線幾何学、射影幾何学）への取り組みに群を適用するようになってきたのは、フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムに始まる。1884年、ソフス・リーは群（現在Lie群として知られている）を解析的問題に適用した。三番目に、群は（最初は暗黙的に、後に明示的に）代数的整数論に用いられた。

これら初期の源流では、観点が違っていたので、そのため群に対する観念も違ったものとなっていた。1880年頃から群の理論の統合がなされてくる。そして、群論の影響はますます増大してきて、20世紀初期には抽象代数学、表現論など多くの派生分野が成立した。有限単純群の分類（en:classification of finite simple groups）は、20世紀中頃より膨大な量の研究がなされ、ついに完成に至った。

群の主な種類

詳細は「群 (数学)」を参照

群の意味する範囲は段階的に拡大してきた。まず有限置換群や、行列群などがあり、また、生成系や関係式で表現（en:presentation of a group ）される抽象群などがある。

置換群

最初に体系的に研究された群は置換群である。集合 X と、Xを X 自身に写す全単射写像の写像（置換として知られる）の集合 G を考える。するとそれは結合法則と逆元の存在を満たし、G は群となる。X が n 個の元を持っていて、 G がそのすべての置換を含んでいるとき、G は対称群 S_n である。

行列群

次に重要な種類の群は「行列群」、もしくは線形群といわれるものである。体 K 上の次数 n の行列で、可逆（逆行列を持つ）であるものの集合を G とする。これはn-次元ベクトル空間 Kⁿ 上の線形変換として働き、行列群をなす。

変換群

置換群や行列群は、変換群といわれるものの特殊な場合である。変換群は、特定の空間 X 上で変換として働く集合のなす群である。たとえば置換群の場合、X は集合となる。行列群の場合、X はベクトル空間となる。変換群の概念は、対称群の概念と密接な関係にある。変換群は、しばしば、特定の構造を保存するすべての変換の集合として構成される。

変換群の理論は、群の理論と微分幾何学の理論を結びつける働きをする。多様体上の位相同型変換、もしくは微分同相（en:Diffeomorphism）変換の集合を群として扱う研究は、ソフス・リーとフェリックス・クラインに始まる。これらの群としては離散群または連続群、位相群などがありうる。

抽象群

群論研究の初期段階では、群は通常「具体的な」対称として考慮されてきた。たとえば、数、置換、行列などである。19世紀終わり頃から、抽象的な群として、集合と演算の組で特定の公理を満たすものを考えるという観点が定着してきた。一般的な方法として、抽象群は生成系（もしくは生成元）と関係式によって表現される。

$G=\langle S|R\rangle .$

抽象群の中でも重要なものは、群 G とその正規部分群 H から構成される商群（因子群）G/H である。代数体上のイデアル類群は、商群で最初期に取り上げられた群であり、数論においても非常に重要である。

具象的な群から抽象群へ観点を変えることによって、個別的な事項から独立になる。近代的に言えば「同型写像で不変な性質」へ注目するようになった。 そのような性質によって、群は有限群、周期群、単純群、可解群、などの種類に分類される。

特定の群の性質を研究するよりも、同じ種類の群に適用できる結果を求めるようになる。この新しいパラダイムは、数学の発展にとってきわめて重要であった。そして、ヒルベルト、アルティン、ネイターや、彼らの後継者によって、抽象代数学を作り出すことになった。

位相群と代数群

群に新たな構造を付け加えることにより、群の概念が発展することになった。新たな構造とは、特に、位相空間、可微分多様体、代数多様体などである。群演算 m と逆演算 i は以下のような写像として表すことができる。

$m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},$

これは、上記の構造と両立可能である。例えば、連続写像、連続微分可能写像、正則写像とすると、群はそれぞれ位相群、Lie群、代数群になる。 群に別種の構造を付け加えることによって、これらの種類の群と、数学の別の分野が関連づけられる。そして、違う手法を研究に適用することが可能になる。

組み合わせ的な群論と幾何学的な群論

群を記述するのには複数の方法がある。有限群は、すべての演算結果 g * h が表示されている群表によって記述することができる。もう一つの主要な方法としては、「生成系（生成元）と関係式」によって群を定義する方法であり、これは群の表示と言われる。

組み合わせ的な群論においては、生成系と関係式の視点から群を研究する。

The Cayley graph of ⟨ x, y ∣ ⟩, the free group of rank 2.

幾何学的群論においては、幾何学的な観点から問題を研究する。群を幾何学的な対象として捉えるか、群が作用するのに適当な幾何学的対象を見つけるなどの方法をとる。

群の表現

群 G がある集合 X に作用するとは、G の任意の元が X 上の全単射写像を定義し、それが群構造と両立することである（このとき特に群作用と言う）。群 G のベクトル空間 V 上の表現とは、以下のような、G から GL(V) への群準同型写像のことである。

ρ : G → GL(V)

ただし GL(V) は、一般線形群である。つまり、V 上の線形写像で、可逆なもの（行列式が0でないもの）の集合である。別の言い方をすれば、G の任意の元 g に対して、V 上の自己同型写像 ρ(g) が定義され、 G の任意の元 h に対して ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh) となる。

この定義は、群の側、作用される集合の側の、2つの方向から理解することができ、どちらも数学の新しい分野を開くものである。一方では、群 G についての新たな情報を得る。しばしば、G の演算は抽象的に与えられる。しかし、「元から写像への写像」ρ を導入することで、元に対応する線形写像、つまり行列の乗算によって明示的に表される。もう一方では、詳しく性質の知られた群を、複雑な対象に作用させることにより、対象の理解を得やすくする。 表現論 (数学)（en:Representation theory）においては、与えられた群 G に対し、どのような表現が存在するかを調べる。個別の事例において、条件や手法、あるいは結果などが得られている。有限群の表現論（en:Representation theory of finite groups）とリー群の表現論は、表現論の二大分野である。群の表現論の全体は群の指標理論（en:Character theory）においてまとめられる。例として、フーリエ級数は、ユニタリ群U(1)の指標と解釈することが可能である。絶対値が1の複素数の群（円周群）は、周期関数のL²空間上に作用する。

群と対称性との関係

詳細は「対称群」を参照

なんらかの構造を持つ集合 X について、対称性とは、構造を保存する自己写像である。これは多くの場面で現れる。以下のような例がある。

1. 特に何の構造も与えられない集合 X についても、自己への全単射が置換群によって与えられる。
2. X を、距離が定義されている平面上の点の集合、もしくは距離空間の点の集合とする。このとき対称性は、点間の距離を保存する全単射によって与えられ、これを等長写像という。X 上の等長写像の集合に対応する群を X の等長変換群という。

1. 距離のかわりに角度が保存される写像は等角写像と言う。等角写像の集合はクライン群を生じる。

1. 対称性は幾何学的対象に限られたものではない。代数学的対象でも対称性を定義することはできる。例えば以下の例がある。

$x^{2}-3=0$

この式は、$+{\sqrt {3}}$ および $-{\sqrt {3}}$ の2つの解を持つ。この場合、この2つの解を交換する群を、上記の式に属するガロア群と言う。任意の1変数代数方程式に、その根を置換する群としてのガロア群が存在する。

群の公理は、対称性の本質を定式化するものである。対称性が群を構成するとも言える。

Fruchtの定理（en:Frucht's theorem ）より、任意の有限群について、対称性（自己への同型写像）を与えるグラフが存在する。このため、任意の抽象群であっても、何らかの具体的な対象の対称性を与える。

対象について「構造を保存する」ということの正確な意味は圏論において精密化される。そこでは、構造を保存する写像は準同型であり、対称群は、問題の対象についての自己同型群となる。

群論の応用分野

群論の応用分野は幅広い。抽象代数学のほとんどすべての構造は、群の特殊な場合である。たとえば環は、アーベル群（加算について）と乗法群（乗算について）が一緒になったものである。このため群についての法則はこれら多くの対象にも適用することができる。

ガロア理論は、代数方程式の根の対称性を群として記述する。ガロア理論の基本定理（en:Fundamental theorem of Galois theory）は、代数拡大（en:Algebraic extension）と群論を結びつける。これにより、代数方程式の可解性を、対応するガロア群の可解性に置き換えて判断できる。たとえば、5次対称群 S₅ は可解ではないので、それにより一般の五次方程式は、それ以下の方程式のように根号によって解くことはできないことが導かれる。これは歴史的には群論のルーツの一つであるが、それだけに留まらず、類体論などの分野においてはいまだに有益である。

代数的位相幾何学もまた、群論の応用分野である。

トーラスのアーベル群的な構造は以下の写像で表される。 C → C/Z+τZ, τ はパラメータである。

巡回群 Z/26 はシーザー暗号の基礎となっている。

代数幾何学と暗号理論は、同じように群論を至る所で取り入れている。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものである。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。

代数的整数論は、群論の特殊な場合である。例として、オイラー積

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\\end{aligned}}\!$

を考える。これは「任意の整数は素数の積に唯一に分解される」という算術の基本定理の表現である。これがデデキント環では必ずしも成立しないことから、類体論や正則素数が発展した。正則素数はエルンスト・クンマーによるフェルマーの最終定理の評価に使われている。

• リー群（数学者レオン・リーの名前にちなむ）は、微分方程式と多様体の研究において重要である。これは、連続的な幾何学的・解析的構造の対称性を記述するものである。リー群などの群の解析を調和解析という。ハール測度はリー群上の移動の積分不変量であるが、これはパターン認識や画像処理に使われている。

• 組合せ数学においては、置換群や群作用の概念がしばしば使われ、集合の個数を計測する助けになる。バーンサイドの補題（en:Burnside's lemma）も参照。

五度圏は巡回群の構造を与える。

• 五度圏には12周期群が現れる。

• 物理学においては、群は物理の法則に現れる対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。なぜならそれはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。

• 化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性（en:Molecular symmetry）を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質（極性やキラリティ）や分子軌道を決定できる。ラマン分光法や赤外分光法も参照。

参照

• 群 (数学)
• 群論の用語については群ようこ゛も参照。

参考文献

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外部リンク

• History of the abstract group concept
• Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions, and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
• Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.