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== 第1種ベータ分布 ==
== 第1種ベータ分布 ==
第1種ベータ分布の[[確率密度関数]]は以下で定義される。
第1種ベータ分布({{lang-en-short|beta distribution of the first kind}}) の[[確率密度関数]]は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha ,\beta)}</math>
ここで {{math|B(''α'', ''β'')}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}、パラメータ {{math2|''α'', ''β''}} はともに正の実数である。期待値は {{math|{{sfrac|''α''|''α'' + ''β''}}}}、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを {{math2|''η'' {{=}} (''α'' − 1, ''β'' − 1)}} として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
ここで {{math|B(''α'', ''β'')}} は[[ベータ関数]]であり、確率変数の取る値は {{math2|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}、パラメータ {{math2|''α'', ''β''}} はともに正の実数である。期待値は {{math|{{sfrac|''α''|''α'' + ''β''}}}}、分散は <math>\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}</math> である。自然パラメータを {{math2|''η'' {{=}} (''α'' − 1, ''β'' − 1)}} として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
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== 第2種ベータ分布 ==
== 第2種ベータ分布 ==
確率変数 {{mvar|X}} が第1種ベータ分布に従うとき、{{math|{{sfrac|''X''|1 − ''X''}}}} の従う分布を第2種ベータ分布([[:en:Beta prime distribution|beta prime distribution]])と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
確率変数 {{mvar|X}} が第1種ベータ分布に従うとき、{{math|{{sfrac|''X''|1 − ''X''}}}} の従う分布を第2種ベータ分布({{lang-en-short| [[:en:Beta prime distribution|beta prime distribution]], beta distribution of the second kind}} )と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\frac{x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta}}</math>
:<math>f(x; \alpha ,\beta )=\frac{1}{B(\alpha ,\beta )}\frac{x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta}}</math>
2019年2月25日 (月) 18:41時点における版
第1種ベータ分布
確率密度関数
累積分布関数
母数
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
形状母数
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
形状母数 台
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
確率密度関数
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle {\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}}
(B はベータ関数 ) 累積分布関数
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
期待値
E
[
X
]
=
α
α
+
β
{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
E
[
ln
X
]
=
ψ
(
α
)
−
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle \operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}
(ψはディガンマ関数 ) 中央値
I
1
/
2
[
−
1
]
(
α
,
β
)
(in general)
≈
α
−
1
/
3
α
+
β
−
2
/
3
for
α
>
1
,
β
>
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}}
最頻値
α
−
1
α
+
β
−
2
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}
for
α
,
β
>
1
{\displaystyle \alpha ,\beta >1}
分散
var
[
X
]
=
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
var
[
ln
X
]
=
ψ
1
(
α
)
−
ψ
1
(
α
+
β
)
{\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}
(ψ1 はトリガンマ関数 ) 歪度
2
(
β
−
α
)
α
+
β
+
1
(
α
+
β
+
2
)
α
β
{\displaystyle {\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}
尖度
6
[
(
α
−
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
−
α
β
(
α
+
β
+
2
)
]
α
β
(
α
+
β
+
2
)
(
α
+
β
+
3
)
{\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}
エントロピー
ln
B
(
α
,
β
)
−
(
α
−
1
)
ψ
(
α
)
−
(
β
−
1
)
ψ
(
β
)
+
(
α
+
β
−
2
)
ψ
(
α
+
β
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}
モーメント母関数
1
+
∑
k
=
1
∞
(
∏
r
=
0
k
−
1
α
+
r
α
+
β
+
r
)
t
k
k
!
{\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}
特性関数
1
F
1
(
α
;
α
+
β
;
i
t
)
{\displaystyle {}_{1}\!F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)}
(Confluent hypergeometric function を参照) テンプレートを表示
第2種ベータ分布
確率密度関数
累積分布関数
母数
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
shape (実数)
β
>
0
{\displaystyle \beta >0}
shape (実数) 台
x
∈
(
0
,
∞
)
{\displaystyle x\in (0,\infty )\!}
確率密度関数
f
(
x
)
=
x
α
−
1
(
1
+
x
)
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}
累積分布関数
I
x
1
+
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}
I
x
(
α
,
β
)
{\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}
は不完全ベータ関数 期待値
α
β
−
1
if
β
>
1
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1}
最頻値
α
−
1
β
+
1
if
α
≥
1
, 0 otherwise
{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!}
分散
α
(
α
+
β
−
1
)
(
β
−
2
)
(
β
−
1
)
2
if
β
>
2
{\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2}
歪度
2
(
2
α
+
β
−
1
)
β
−
3
β
−
2
α
(
α
+
β
−
1
)
if
β
>
3
{\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3}
モーメント母関数
e
−
t
Γ
(
α
+
β
)
Γ
(
β
)
G
1
,
2
2
,
0
(
α
+
β
β
,
0
|
−
t
)
{\displaystyle {\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)}
テンプレートを表示
ベータ分布 (ベータぶんぷ、英 : beta distribution )は、連続確率分布 であり、第1種および第2種がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。
第1種ベータ分布
第1種ベータ分布(英 : beta distribution of the first kind )の確率密度関数 は以下で定義される。
f
(
x
;
α
,
β
)
=
x
α
−
1
(
1
−
x
)
β
−
1
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}}
ここで B(α , β ) はベータ関数 であり、確率変数の取る値は 0 ≤ x ≤ 1 、パラメータ α , β はともに正の実数である。期待値は α / α + β 、分散は
α
β
(
α
+
β
)
2
(
α
+
β
+
1
)
{\displaystyle {\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}
である。自然パラメータを η = (α − 1, β − 1) として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。
f
(
x
;
η
)
=
h
(
η
)
exp
(
η
⋅
u
(
x
)
)
{\displaystyle f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))}
ただし
h
(
η
)
=
1
B
(
α
,
β
)
,
u
(
x
)
=
(
log
x
,
log
(
1
−
x
)
)
{\displaystyle h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))}
である。
第2種ベータ分布
確率変数 X が第1種ベータ分布に従うとき、X / 1 − X の従う分布を第2種ベータ分布(英 : beta prime distribution , beta distribution of the second kind )と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。
f
(
x
;
α
,
β
)
=
1
B
(
α
,
β
)
x
α
−
1
(
1
+
x
)
α
+
β
{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}}
参考文献
蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
B. S. Everitt(清水良一訳)、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).
関連項目
外部リンク
離散単変量で 有限台 離散単変量で 無限台 連続単変量で 有界区間に台を持つ 連続単変量で 半無限区間に台を持つ 連続単変量で 実数直線全体に台を持つ 連続単変量で タイプの変わる台を持つ 混連続-離散単変量 多変量 (結合) 方向 退化 と特異 族 サンプリング法 (英語版 )