ベータ分布

第1種ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\alpha >0$ 形状母数 $\beta >0$ 形状母数
台	$[0,1]$
確率密度関数	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\operatorname {B} (\alpha ,\beta )}}$ （B はベータ関数）
累積分布関数	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
期待値	$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ $\operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$ （ψはディガンマ関数）
中央値	${\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}$
最頻値	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ for $\alpha ,\beta >1$
分散	$\operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ $\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$ （ψ1 はトリガンマ関数）
歪度	${\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
尖度	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
エントロピー	${\begin{aligned}\ln \operatorname {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$
モーメント母関数	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
特性関数	${}_{1}\!F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)$（Confluent hypergeometric functionを参照）

第2種ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\alpha >0$ shape (実数) $\beta >0$ shape (実数)
台	$x\in (0,\infty )\!$
確率密度関数	$f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!$
累積分布関数	$I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}$ $I_{x}(\alpha ,\beta )$ は不完全ベータ関数
期待値	${\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1$
最頻値	${\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ if }}\alpha \geq 1{\text{, 0 otherwise}}\!$
分散	${\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ if }}\beta >2$
歪度	${\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ if }}\beta >3$
モーメント母関数	${\frac {e^{-t}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\beta )}}G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha +\beta \\\beta ,0\end{matrix}}\;\right|\,-t\right)$

ベータ分布（ベータぶんぷ、英: beta distribution）は、連続確率分布であり、第1種および第2種がある。単にベータ分布と呼んだ場合、第1種ベータ分布を指す。

第1種ベータ分布

第1種ベータ分布の確率密度関数は以下で定義される。

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}$

ここで B(α, β) はベータ関数であり、確率変数の取る値は 0 ≤ x ≤ 1、パラメータ α, β はともに正の実数である。期待値は α/α + β、分散は ${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ である。自然パラメータを η = (α − 1, β − 1) として以下のように書き換えられるので、ベータ分布は指数型分布族である。

$f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))$

ただし $h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))$ である。

第2種ベータ分布

確率変数 X が第1種ベータ分布に従うとき、X/1 − X の従う分布を第2種ベータ分布（beta prime distribution）と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}$

参考文献

• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt（清水良一訳）、統計科学辞典、朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ関数
• ガンマ分布

外部リンク

• GSL reference manual Japanese version