ベータ分布

ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\alpha >0$ 形状母数 $\beta >0$ 形状母数
台	$x\in [0;1]$
確率密度関数	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}$ (Bはベータ関数)
累積分布関数	$I_{x}(\alpha ,\beta )$
期待値	$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$ $\operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )$ (ψはディガンマ関数)
中央値	${\begin{aligned}&I_{1/2}^{[-1]}(\alpha ,\beta )&{\text{(in general)}}\\&\approx {\frac {\alpha -1/3}{\alpha +\beta -2/3}}&{\text{for }}\alpha >1,\beta >1\end{aligned}}$
最頻値	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$ for $\alpha ,\beta >1$
分散	$\operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$ $\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$ (ψ1はトリガンマ関数)
歪度	${\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
尖度	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
エントロピー	${\begin{aligned}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )\\-(\beta -1)\psi (\beta )+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}$
モーメント母関数	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
特性関数	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$ (see Confluent hypergeometric function)

ベータ分布（ベータぶんぷ、英: beta distribution）は、連続型の確率分布であり、第1種および第2種がある。

第1種ベータ分布

第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その確率密度関数は以下で定義される。

$f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )}}$

ここで$B(\alpha \!,\beta )$はベータ関数であり、確率変数の取る値は$0\leq x\leq 1$、パラメータ$\alpha \!,\beta$はともに正の実数である。期待値は ${\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}$、分散は ${\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$ である。自然パラメータを$\eta =(\alpha -1,\beta -1)$として以下のように書き換えられるので，ベータ分布は指数型分布族である。

$f(x;\eta )=h(\eta )\exp(\eta \cdot u(x))$

ただし$h(\eta )={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}},u(x)=(\log x,\log(1-x))$である。

第2種ベータ分布

確率変数$X\!$が第1種ベータ分布にしたがうとき、${\frac {X}{1-X}}$のしたがう分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。

${\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {x^{\alpha -1}}{(1+x)^{\alpha +\beta }}}$

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ベータ関数
• ガンマ分布

外部リンク

• GSL reference manual Japanese version