ひずみ

Shear strain
記号	γ or ϵ
SI単位	1, or radian
他の量からの; 派生	γ = τ / G

	連続体力学
	;
法則
	質量保存の法則; 運動量保存の法則; エネルギー保存の法則; クラウジウスの不等式
固体力学
	固体 · 応力 · 変形 · 有限変形理論 · ひずみ · 弾性 · 弾性波 · 塑性 · 粘弾性 · フックの法則 · レオロジー · 超弾性 · 弾塑性
流体力学
	流体 · 流体静力学; · 粘度 · ニュートン流体; 非ニュートン流体; 表面張力
科学者
	ニュートン · ストークス · ナビエ · コーシー · フック · ベルヌーイ
	表・話・編・歴

この項目では、材料工学の歪みについて記述しています。その他の歪みについては「歪み」をご覧ください。

ひずみ（英語: strain）とは、物体の基準（初期状態の）長さに対する物体内の物質点の変位を表す、変形の尺度である。

概要 [編集]

物体の一般的な変形は、 $\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}(\boldsymbol{X})$ で表される。ここで $\boldsymbol{X}$ は物質点の基準位置である。変形は長さの単位を持つ。

例えば、ひずみを以下のように定義する。

$\boldsymbol{\varepsilon} \doteq \cfrac{\partial}{\partial\boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{X}\right) = \cfrac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{X}} - \boldsymbol{1}$

したがって、ひずみは無次元である。ひずみは、変形がどの程度与えられたかを表している。 ^[1]

ひずみは応力と同様に、垂直成分とせん断成分に分解することができる。物体において、部材軸方向に沿った変形を表すのが垂直ひずみ、部材軸と垂直な方向の変形を表すのがせん断ひずみである。 ^[2]

物体の長さが増加している場合、垂直ひずみは引張ひずみと呼ばれるが、物体の長さが減少している場合、垂直ひずみは圧縮ひずみと呼ばれる。

垂直ひずみ [編集]

Two-dimensional geometric deformation of an infinitesimal material element.

フックの法則に従う等方性材料は、垂直応力により垂直ひずみが生じる。

面積が $dx \times dy$ の二次元微小矩形材料要素を考える。これは変形後にひし形になる。図より、

$\mathrm{length}(AB) = dx \,$

$\begin{align} \mathrm{length}(ab) &= \sqrt{\left(dx+\frac{\partial u_x}{\partial x}dx \right)^2 + \left( \frac{\partial u_y}{\partial x}dx \right)^2} \\ &= dx~\sqrt{1+2\frac{\partial u_x}{\partial x}+\left(\frac{\partial u_x}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial u_y}{\partial x}\right)^2} \\ \end{align}\,\!$

変位勾配が微小であるため、導関数の2乗の項は無視できる。

$\mathrm{length}(ab)\approx dx +\frac{\partial u_x}{\partial x}dx$

矩形要素の $x\,\!$ 軸方向垂直ひずみは、以下の式で定義される。

$\varepsilon_x = \frac{\text{extension}}{\text{original length}} = \frac{\mathrm{length}(ab)-\mathrm{length}(AB)}{\mathrm{length}(AB)} = \frac{\partial u_x}{\partial x}$

同様に、 $y\,\!$ 軸方向、 $z\,\!$ 軸方向垂直ひずみは、以下のようになる。

$\varepsilon_y = \frac{\partial u_y}{\partial y} \quad , \qquad \varepsilon_z = \frac{\partial u_z}{\partial z}\,\!$

せん断ひずみ [編集]

せん断ひずみは、 $\overline {AC}\,\!$ と $\overline {AB}\,\!$ の間の角度の変化である。図より、以下の式を得る。

$\gamma_{xy}= \alpha + \beta\,\!$

$\begin{align} \tan \alpha & =\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}dx}{dx+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}dx}=\frac{\tfrac{\partial u_y}{\partial x}}{1+\tfrac{\partial u_x}{\partial x}} \\ \tan \beta & =\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}dy}{dy+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}dy}=\frac{\tfrac{\partial u_x}{\partial y}}{1+\tfrac{\partial u_y}{\partial y}} \end{align}$

変位勾配が小さいので、以下のようになる。

$\cfrac{\partial u_x}{\partial x} \ll 1 ~;~~ \cfrac{\partial u_y}{\partial y} \ll 1$

回転が小さいため、 $\alpha\,\!$ と $\beta\,\!$ が1より非常に小さいので、 $\tan \alpha \approx \alpha,~\tan \beta \approx \beta\,\!$ となる。

$\alpha \approx \cfrac{\partial u_y}{\partial x} ~;~~ \beta \approx \cfrac{\partial u_x}{\partial y}$

$\gamma_{xy}= \alpha + \beta = \frac{\partial u_y}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial y}\,\!$

$x\,\!$ 、 $y\,\!$ 、 $u_x\,\!$ 、 $u_y\,\!$ の交換によって、 $\gamma_{xy} = \gamma_{yx}\,\!$ が示される。同様に、 $y\,\!$ - $z\,\!$ 平面、 $x\,\!$ - $z\,\!$ 平面について、次式が得られる。

$\gamma_{yz}=\gamma_{zy} = \frac{\partial u_y}{\partial z} + \frac{\partial u_z}{\partial y} \quad , \qquad \gamma_{zx}=\gamma_{xz}= \frac{\partial u_z}{\partial x} + \frac{\partial u_x}{\partial z}\,\!$

微小ひずみテンソルのせん断ひずみ成分は、次のように記述できる。

$\underline{\underline{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \left[\begin{matrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \varepsilon_{xx} & \gamma_{xy}/2 & \gamma_{xz}/2 \\ \gamma_{yx}/2 & \varepsilon_{yy} & \gamma_{yz}/2 \\ \gamma_{zx}/2 & \gamma_{zy}/2 & \varepsilon_{zz} \\ \end{matrix}\right]\,\!$

ひずみの定義 [編集]

ひずみの大きさに応じて、変形の解析は3つの理論に分類される。

有限ひずみ理論（大ひずみ理論、大変形理論）

任意の大きさの回転とひずみの両方による変形において適用される。この場合、連続体の変形前と変形後の状態が大きく異なっており、それらを明確に区別する必要がある。これは一般に、エラストマーや塑性変形材料、その他流体、生体軟組織などにおいて用いられる。

微小ひずみ理論（小ひずみ理論、小変形理論、小変位理論、小変位勾配理論）

ひずみと回転の両方が小さい場合において適用される。この場合、物体の変形前と変形後の状態が同じであるとみなすことができる。これは、コンクリートや銅のように弾性挙動を示す材料において用いられる。

大変位理論、大回転理論

ひずみは小さいが、回転と変位が大きい場合において適用される。

それぞれの理論において、ひずみの定義が異なっている。 工学ひずみは、機械工学や構造力学などで利用される材料に適用されている最も一般的な定義である。工学ひずみは微小変形の場合に用いられる。一方、エラストマーやポリマーなど、工学ひずみが1%を超えるような ^[3] 大きな変形を条件とする材料においては、 ストレッチや対数ひずみ、グリーンひずみ、アルマンジひずみといった、より複雑なひずみの定義が必要となる。

工学ひずみ [編集]

工学ひずみ、またはコーシーひずみは、荷重を加えたことによる物体の初期状態に対する総変形の比として表現される。部材軸方向荷重による工学垂直ひずみは、物体の初期状態における長さに対する、長さの変化量として記述される。垂直ひずみは、引張荷重の場合は正となり、圧縮荷重の場合は負となる。これより次式を得る。

$\ e=\frac{\Delta L}{L}=\frac{\ell -L}{L}$

ここで $\ e$ は工学垂直ひずみ、 $\ L$ は物体の初期状態における長さ、 $\ \ell$ は変形後の物体の長さである。

ストレッチ [編集]

ストレッチ、または延伸比は、特異線要素における垂直ひずみの測度であり、線要素の変形後の長さ $\ \ell$ と変形前の長さ $L$ の比で定義される。

$\ \lambda=\frac{\ell}{L}$

ストレッチは、次式によって工学ひずみと関連づけられる。

$\ e=\frac{\ell-L}{L}=\lambda-1$

ストレッチが1の時、垂直ひずみは0になり、変形は生じない。

ストレッチは、3から4のストレッチを与えても降伏しないエラストマーのように、大きな変形を示す材料の解析に用いられる。一方、コンクリートや鋼などは、低いストレッチで降伏する。

対数ひずみ [編集]

対数ひずみは、自然ひずみ、真ひずみ、ヘンキーひずみとも呼ばれる。以下のひずみ増分を考える。

$\ \delta \varepsilon=\frac{\delta \ell}{\ell}$

対数ひずみは、このひずみ増分を積分することによって得られる。

$\ \begin{align} \int\delta \varepsilon &=\int_{L}^{\ell}\frac{\delta \ell}{\ell}\\ \varepsilon&=\ln\left(\frac{\ell}{L}\right)=\ln \lambda \\ &=\ln(1+e) \\ &=e-e^2/2+e^3/3- \cdots \\ \end{align}$

ここで $\ e$ は工学ひずみである。対数ひずみは、ひずみ経路の影響を考慮して、増分変形の連続で生じた最終的なひずみを表す。 ^[2]

グリーンひずみ [編集]

グリーンひずみは、以下のように定義される。

$\ \varepsilon_G=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell^2-L^2}{L^2}\right)=\frac{1}{2}(\lambda^2-1)$

アルマンジひずみ [編集]

オイラー-アルマンジひずみは、以下のように定義される。

$\ \varepsilon_E=\frac{1}{2}\left(\frac{\ell^2-L^2}{\ell^2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\lambda^2}\right)$

地震におけるひずみ [編集]

岩盤（プレート）が変形すること、またはその大きさをひずみという。地下の岩盤の一部においてもプレート運動の影響で応力が発生しており、これによりひずみが蓄積されて岩盤の耐力の限界に達すると、地震が発生する。

出典 [編集]

参考文献 [編集]

Dill, Ellis Harold (2006). Continuum Mechanics: Elasticity, Plasticity, Viscoelasticity. Germany: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.

Hutter, Kolumban; Klaus Jöhnk (2004). Continuum Methods of Physical Modeling. Germany: Springer. ISBN 3-540-20619-1.

Lubarda, Vlado A. (2001). Elastoplasticity Theory. CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.

Macosko, C. W. (1994). Rheology: principles, measurement and applications. VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
Mase, George E. (1970). Continuum Mechanics. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
Mase, G. Thomas; George E. Mase (1999). Continuum Mechanics for Engineers (Second ed.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.

Nemat-Nasser, Sia (2006). Plasticity: A Treatise on Finite Deformation of Heterogeneous Inelastic Materials. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.

この項目「ひずみ」は、工学・技術に関連した書きかけ項目です。加筆、訂正などをして下さる協力者を求めています。

[1] Lubliner, Jacob (2008). Plasticity Theory (Revised Edition). Dover Publications. ISBN 0-486-46290-0.

[rees-2] Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-8025-3.

[3] Rees, David (2006). Basic Engineering Plasticity - An Introduction with Engineering and Manufacturing Applications. Butterworth-Heinemann. p. 41. ISBN 0-7506-8025-3.

[1]

[2]

[3]

ひずみ

目次

概要 [編集]

垂直ひずみ [編集]

せん断ひずみ [編集]

ひずみの定義 [編集]

工学ひずみ [編集]

ストレッチ [編集]

対数ひずみ [編集]

グリーンひずみ [編集]

アルマンジひずみ [編集]

地震におけるひずみ [編集]

関連項目 [編集]

出典 [編集]

参考文献 [編集]

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