1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

数学において、級数 $1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + 1 / 16 + \cdot\cdot\cdot$ は、絶対収束する幾何級数の初歩的な例である。

その和は以下のようになる。

{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots &=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\dfrac {1}{2}}{1-{\dfrac {1}{2}}}}\\&=1\end{aligned}}

また、 $2$ 進数では

0.111111\dots

のように、" $0.$ " の後に $1$ を無数に並べて表すこともできる。

直接証明

他の級数と同様、無限和

{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots

は、最初の $n$ 項の和

s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}

の、 $n$ が無限に大きくなるときの極限として定義される。

$s n$ （上式の両辺）に $2$ を乗じることにより、有用な関係性がわかる。

2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}

両辺から $s n$ を減じると次のような式になる。

s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}

$n$ を無限に大きくすると、 $s n$ は $1$ に収束する ^[1]。

この級数は、ゼノンのパラドックスの一つの表現として使われた（二分法の説明に当たる）^[2]。また、ホルスの目は、かつてこの級数の最初の6項を表したものだと考えられていた^[3]。

^ $\lim _{n\to \infty }2^{n}=\infty$ より $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2^{n}}}=0$ だから、 $n$ を無限に大きくしたときの $s n$ は $1$ に収束する。
^ Description of Zeno's paradoxes^{[リンク切れ]}
^ Stewart, Ian (2009). Professor Stewart's Hoard of Mathematical Treasures. Profile Books. pp. 76–80. ISBN 978 1 84668 292 6