絶対収束

数学において、級数が絶対収束（ぜったいしゅうそく、英: absolute convergent）するとは、その各項の絶対値を取って得られる級数の和が有限の値になるときにいう。きちんと述べれば、実または複素数の級数 ∑ a_n は

$\sum_{n=0}^\infty |a_n| < \infty$

なるとき、絶対収束すると言う。

絶対収束が無限級数の研究において重要であるのは、それが有限和の場合に成立する（が必ずしも全ての収束級数が持つわけではない）性質を持つようにするためにきわめて強力な条件であるとともに、それ自身が一般的な内容を議論するのに（その強い制約条件にもかかわらず）十分広範な級数のクラスを定めるからである。

基本的な定理

定理:絶対収束する級数は収束する

証明:

$\ a_n\$は実数列とし、$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$は収束するとする。 第$\ k$部分和を$s_k = \sum_{n = 1}^k a_n$と書くと、$k,l \in \mathbb{N},k<l$に対し、

$|s_l - s_k| = \left| \sum_{n=k+1}^l a_n \right| \leq \sum_{n=k+1}^l |a_n|$

$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$は収束するから、$k,l \to \infty$でこの式の右辺は0に収束する。すなわち$\ s_k\$はコーシー列である。従って$s_k = \sum_{n = 1}^k a_n$はある点に収束する。

複素数列の場合は、$\ z_n = a_n + i b_n\$とすると、$|a_n| + |b_n| \leq 2|z_n|$だから実数の場合に帰着できる。(証明終り)

収束するが絶対収束しないような級数は条件収束すると言う。このような級数の例として交替調和級数がある。 級数の収束判定法の多くのもの、例えばダランベールの収束判定法やコーシーの冪根判定法などは、絶対収束性を判定する。それは、実用的に重要な冪級数が収束円の内部で絶対収束するためである。

一般化

実数や複素数の級数に限らず、各項$\ a_n\$が任意の位相アーベル群の要素であるような列に対して、級数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$を考えることが出来る。このような級数に絶対収束の概念を導入するためにはノルムの構造が必要である。

ノルムの導入

アーベル群 $\ G\$ 上で定義された非負実数値関数$x \mapsto \|x\|(\in \mathbf{R}^+)$が次の条件

1. xが$\ G\$の単位元0であるとき、かつそのときに限り$\|x\| = 0.$
2. 全ての$x \in G$について$\|x\| = \|-x\|.$
3. 全ての$x,y \in G$について$\|x+y\| \leq \|x\| + \|y\|.$

を満たすとき、$\|x\|$はノルムと呼ばれる。ノルムが導入されれば、任意の$x,y \in G$に対して距離関数$\ d\$を$d(x,y) = \|x-y\|$と定義することにより、$\ G\$に距離空間の構造を導入できる。ノルムの利用により、$\ G\$に値をとる級数に対しても絶対収束の定義ができる。 すなわち、$\ G\$上の級数に対しては、$\sum_{n=0}^{\infty} \|a_n\| < \infty$ならば、級数は絶対収束する、と定義する。

完備性との関連

ノルム空間$\ G\$においては、絶対収束級数の収束性と、距離に関する完備性とは同値である。すなわち次の二つの条件が同値になる。

1. $\ G\$は距離に関して完備。すなわち$\ G\$はバナッハ空間である。
2. $\ G\$上の絶対収束する級数は必ず収束する。

証明:

1→2は、先の複素数値級数の場合と形式的にまったく同様に示せる。

2→1 $\ a_n\$は$\ G\$上のコーシー列とする。そこで$\ a_n\$のある部分列$a_{n_k}$で$|| a_{n_k} - a_{n_{k-1}}|| < 2^{-k}$となるようなものが取れる。$\ G\$上の列$\ y_i\$を、 $y_1 = a_{n_1}, y_i = a_{n_i} - a_{n_{i-1}}$ と定義する。すると、

$\sum_{i=1}^{\infty} ||y_i|| = \sum_{i=1}^{\infty} || a_{n_i} - a_{n_{i-1}} || =\sum_{i=1}^{\infty} 2^{-i} < \infty$

すなわち$\sum_{i=1}^{\infty} y_i$は絶対収束するから、仮定よりある$A \in G$があって $\sum_{i=1}^{\infty} y_i$は$A$に収束する。よって

$|| A - a_{n_k} || = \left\| \sum_{i=1}^{\infty} y_i - a_{n_k} \right\| = \left\| \sum_{i=1}^{\infty} y_i - \sum_{i=1}^{k} y_i \right\|$

$= \left\| \sum_{i=k+1}^{\infty} y_i \right\| \leq \sum_{i=k+1}^{\infty} ||y_i|| < \sum_{i=k+1}^{\infty} 2^{-i} = 2^{-k} \to 0 ( k \to \infty)$

すなわち部分列$\ a_{n_k}\$は$\ A\$に収束する。$\ a_n\$は$\ G\$上のコーシー列であったから、$\ a_n\$も$\ A\$に収束する。(証明終り)

無条件収束との関連

ノルムつきアーベル群$\ G\$上に値を持つ級数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ と、自然数の置換$\sigma$が与えられたとする。 このとき、$\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)}$は元の級数の並べ替えと呼ばれる。 任意の並べ替えが同じ値に収束するとき、この級数は無条件収束すると言われる。(注:無条件収束の定義として、単に任意の並べ替えが収束することだけを条件とし、同じ値に収束することは要求しない場合もある。実はその場合でも、任意の並べ替えが収束するならば同じ値に収束することが証明できる。)

$\ G\$が完備なら絶対収束から無条件収束が導かれる。すなわち、ノルムつきアーベル群$G$がノルムに関して完備とすると、$\ G\$上の級数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ は絶対収束するなら無条件収束する。次節ではノルムが完備でない場合も含めて証明する。

定理

$\ a_n\$は一般の(完備性を仮定しない)ノルム空間上の列であり、$\sum\limits_{i=1}^\infty a_i=A<\infty$, $\sum\limits_{i=1}^\infty ||a_i||<\infty$ とする。$\sigma$ は自然数 $\mathbb{N}$の任意の置換とする。このとき、$\sum\limits_{i=1}^\infty a_{\sigma(i)}=A$である。すなわち収束かつ絶対収束する級数は無条件収束する。 (完備とは限らない空間においては絶対収束性から収束性を導けないので、収束性と絶対収束性の両方を仮定する必要がある)

証明

$\ a_n\$は絶対収束および収束するから、任意の$\varepsilon > 0$に対して、ある$\kappa_\varepsilon,\lambda_\varepsilon \in \mathbb{N}$が選べて、

$\forall N>\kappa_\varepsilon\ ,\sum\limits_{n=N}^\infty ||a_n|| < \frac{\varepsilon}{2}$

および

$\forall N>\lambda_\varepsilon\ ,\left\|\sum\limits_{n=1}^N a_n-A\right\| < \frac{\varepsilon}{2}$

となる。

さて、$N_\varepsilon:=\max(\kappa_\varepsilon, \lambda_\varepsilon)$、 $M_{\sigma,\varepsilon}:= \max \left\{ \sigma^{-1}\left(\{ 1,\dots,N_\varepsilon \}\right) \right\}$ として、 $N > M_{\sigma,\varepsilon}$ となるような任意の $N \in \mathbb{N}$について、$I_{\sigma,\varepsilon}:=\left\{ 1,\ldots,N \right\}\setminus \sigma^{-1}\left(\{ 1,\dots,N_\varepsilon \}\right)$とする。

すると、以下の式がなりたつ $\left\|\sum\limits_{i=1}^N a_{\sigma(i)}-A \right\|= \left\| \sum_{i \in \sigma^{-1}\left(\{ 1,\dots,N_\varepsilon \}\right)} a_{\sigma(i)} - A + \sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} a_{\sigma(i)} \right\|$ $\leq \left\| \sum_{i=1}^{N_\varepsilon} a_i - A \right\| + \left\| \sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} a_{\sigma(i)} \right\| \leq \left\| \sum_{i=1}^{N_\varepsilon} a_i - A \right\| + \sum_{i\in I_{\sigma,\varepsilon}} \| a_{\sigma(i)} \|$ $\leq \left\| \sum_{i=1}^{N_\varepsilon} a_i - A \right\| + \sum_{i= \min\{ \sigma(k) | k \in I_{\sigma,\varepsilon} \}}^{\max\{ \sigma(k) | k \in I_{\sigma,\varepsilon} \}} \| a_i \| \leq \left\| \sum_{i=1}^{N_\varepsilon} a_i - A \right\| + \sum_{i= N_\varepsilon + 1}^{\infty} \| a_i \| \leq \varepsilon$

すなわち

$\forall\varepsilon > 0\ , \exist M_{\sigma,\varepsilon}\, \forall N > M_{\sigma,\varepsilon} \,\, , \left\|\sum\limits_{i=1}^N a_{\sigma(i)}-A \right\|< \varepsilon$

これは$\sum\limits_{i=1}^\infty a_{\sigma(i)}=A$を意味する。(証明終り)

無条件収束と絶対収束

実数および複素数列に対しては、リーマンの級数定理の対偶として、無条件収束から絶対収束が導かれることも言える。すなわち、実数および複素数列に対しては無条件収束と絶対収束は同値である。 さらに、有限次元ノルム空間に値を持つような級数は、各次元に射影した成分が絶対収束するなら絶対収束するから、$\mathbb{R}^n$値の列に対して絶対収束性と無条件収束性が同値であることを導くのは容易である。

一般的なノルムつきアーベル群$\ G\$上の列においては、絶対収束と無条件収束は区別される。完備なノルム空間であっても無条件収束から絶対収束は導かれない。例えばヒルベルト空間$\ell^2$において、$\{e_n\}_{n=1}^{\infty}$ を直交基底としたときの列 $a_n = \frac{1}{n} e_n$による級数は無条件収束するが絶対収束はしない。

もっと一般的に、Dvoretzky-Rogersの定理によれば、すべての無限次元バナッハ空間には無条件収束するが絶対収束しないような級数が存在する。

級数の積と絶対収束

積の分配法則

実数または複素数の絶対収束する二つの級数の積もまた絶対収束する。すなわち二つの収束する級数$\sum_{n=0}^\infty a_n = A \,,\,\sum_{n=0}^\infty b_n = B.$がともに絶対収束するならば、級数

$\sum_{n\in \mathbb{N}} a_n \sum_{m \in \mathbb{N}} b_m = \sum_{m\in \mathbb{N}} b_m \sum_{n \in \mathbb{N}} a_n = \sum_{(m,n)\in \mathbb{N}\times\mathbb{N}}^{}a_n b_m$

は和の順序によらず収束し(無条件収束=絶対収束)、その値は$\ AB\$に等しい。これは、絶対収束する級数同士の積においては、有限和の場合と同様に積と和の分配法則が成り立つことを意味する。 絶対収束する級数においては、和の順序も自由に交換できた(無条件収束)から、絶対収束する級数はおおむね有限和に近い性質を持つといえる。

コーシー積

詳細は「コーシー積」を参照

実または複素数を項とする二つの収束級数のコーシー積は少なくともどちらか一方が絶対収束するならば、各級数の収束値の積に収束する。すなわち

$\sum_{n=1}^\infty a_n = A,\quad \sum_{n=1}^\infty b_n = B$

であるとき、これらのコーシー積とは、各級数の係数列の畳み込み

$c_n = \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k}$

を項として定まる級数 ∑c_n で、$a_n$ または $b_n$ の少なくとも一方の和が絶対収束するならば

$\sum_{n=1}^\infty c_n = AB$

が成立する。

無限積

絶対収束は無限積の収束性を判定することもできる。

複素数列の級数$\sum_{i=1}^{\infty} a_i$が絶対収束するならば、無限積$\prod_{i=1}^{\infty}( 1+a_i)$も収束する。

証明: $\sum_{i=1}^{\infty} |a_i|$は仮定より収束するからその値を$\ S\$とする。また、$p_n = (1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)$、および$y_1=p_1,\, y_n = p_n - p_{n-1} = (1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_{n-1})a_n$とする。すると、$p_n = \sum_{i=1}^{n} y_i$および、$\ y_n = p_{n-1}a_n\$である。そこで

$|p_n|\leq \prod_{i=1}^{n}(1+ |a_i|) \leq \prod_{i=1}^{n} \exp (|a_i|) = \exp \left(\sum_{i=1}^{n}|a_i| \right)$

$\leq \exp \left( \sum_{i=1}^{\infty}|a_i| \right) = e^S$

より、

$|y_n| = |p_{n-1}a_n| \leq e^S |a_n|$

となる。よって$\sum_{i=1}^{\infty} | y_i | \leq e^S \sum_{i=1}^{\infty}|a_i| = e^S S.$ すなわち$\sum_{i=1}^{\infty} y_i$は絶対収束するから、$\sum_{i=1}^{n} y_i = p_n = \prod_{i=1}^{n}( 1+a_i)$も収束する。(証明終り)

積分の絶対収束

実数値または複素数値関数の、$\ A \ \subset \mathbb{R}\ (or \mathbb{C})$における定積分$\int_A f(x)\,dx$ は、$\int_A \left|f(x)\right|\,dx < \infty.$ となるとき「絶対収束する」と言う。またこのとき$\ f\$は絶対可積分と言う。

$\ A = [a,b]\$を有界閉区間とすると、$\ A\$上のすべての連続関数は可積分であり、$\ f\$が連続ならば$\ |f|\$も連続だから、有界閉区間上のすべての連続関数は絶対可積分である。

しかし、$\ [a,b]\$上の絶対可積分関数は可積分である、ということは一般的にいえない。それは次のような例を考えればわかる: $S \subset [a,b]$はルベーグの意味で非可測な部分集合とし、$\chi_S$を$\ S\$の定義関数とする。$f = \chi_S - \frac{1}{2}$はルベーグ可測ではないが、$\ |f|\$は定数関数であり、したがって可測関数であり可積分。

標準的な結果としては、$\ f\$がリーマン可積分(またはルベーグ可積分)なら$\ |f|\$も同様である、といえる。

一方で、関数$\ f\$がヘンストック・カーツヴァイル積分 (Henstock–Kurzweil integra)またはゲージ積分可能であったとしても、$\ |f|\$がそうであるとは限らない。これは広義リーマン可積分関数の例を含んでいる。 同じ様に$\ A\$が長さ無限の区間であるとき、絶対可積分でないような広義リーマン可積分関数が存在することはよく知られている。

実際のところ、任意の級数$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$が与えられたとき、$\ f_a([n,n+1)) = a_n\$で定義される階段関数$f_a: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$を考えることが出来る。このとき、$\int_0^{\infty} f_a dx$は、対応する$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$の収束性に応じて絶対収束、条件収束、あるいは発散する。

他にも、収束するが絶対収束しない広義リーマン積分の例として、$\int_{\mathbb{R}} \frac{\sin x}{x} dx$がある。

任意の可測空間$A$において、実数値関数のルベーグ積分は正部分、負部分によって定義される。 そこで、次の事実

1. $\ f\$ が可積分なら$\ |f|\$も可積分。
2. $\ f\$ が可測なら$\ |f|\$ の可積分性から$\ f\$の可積分性が導かれる。

は本質的にルベーグ積分の定義に組み込まれている。特にルベーグ積分論を集合$S$上の可算測度に応用することで、ムーア(E. H. Moore)とスミス(Herman L. Smith)によりネットを使って構成された級数の非順序和の概念を再構築できる。 $S = \mathbb{N}$が自然数の集合のとき、ルベーグ可積分性と級数の非順序和可能性(無条件収束性)と絶対収束性は同値な概念になる。数え上げ測度も参照のこと。

最後に、これらのすべてはバナッハ空間に値を持つ積分に対しても成り立つ。バナッハ空間に値を持つリーマン積分の定義は普通の積分の自然な拡張である。 ルベーグ積分の拡張は、ダニエル(Percy John Daniell)の関数解析的方法にともなう正値部分と負値部分への分解を回避するために絶対収束性が必要であり、ボホナー積分になる。

関連記事

• フーリエ級数の収束
• 条件収束
• 収束モード
• コーシー列
• フビニの定理

参考文献

• Heil, Christopher (1997), “A Basis Theory Primer” (PDF), electronic manuscript, http://people.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf 2010年12月18日閲覧。 
• A. Dvoretzky, A.; Rogers (1950), “Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces”, Proc. National Academy of Science of U.S.A. 36: 192-97, doi:10.1073/pnas.36.3.192 </ref>
• Singer (1964), “A proof of the Dvoretzky-Rogers theorem”, Israel Journal of Mathematics 2 (4): 249-250, doi:10.1007/BF02759741 

• Rudin (1964), Principles of Mathematical Analysis, New York: McGraw-Hill, ISBN 0070856133 
• 高木, 貞治 (1983), 解析概論 (改訂第三版 ed.), 岩波書店, ISBN 4000051717 
• 日本数学会 (1982), 数学辞典 (第2版 ed.), 岩波書店