階段関数

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階段関数

階段関数(かいだんかんすう、: step functionまたは: staircase function)とは、おおまかに言って、グラフ階段状になる実関数のことである。より正確には、区間上の指示関数有限個あって、それらの線型結合で表される関数である。有限個のみの区分を持った、区分的に定数関数である関数とも表現できる。

定義[編集]

関数 f : RR階段関数であるとは、ある整数 n が存在して、n 個の実数 α1, …, αnn 個の区間 A1, …, An 上の指示関数 χ1, …, χn によって、

f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_i(x)

と表されることをいう。ここに、集合 A 上の指示関数 χA とは、次で定義されるものであった。

\chi_A(x)=\begin{cases}1, & \ (x \in A), \\ 0, & \ (x \notin A). \end{cases}

この定義において、区間 Ai たちは、次の2条件を満たすとしてもよい。

  • 互いに素である。すなわち、ij のとき、AiAj = ∅ である。
  • 和集合が実数全体である。すなわち、A1 ∪ … ∪ An = R である。

例えば、この条件を満たさずに階段関数

f = 4χ[-5, 1) + 3χ(0, 6)

が与えられたならば、条件を満たすように

f = 0χ(-∞, -5) + 4χ[-5, 0] + 7χ(0, 1) + 3χ[1, 6) + 0χ[6, ∞)

と表現することもできる。

[編集]

  • 定数関数は自明な階段関数である。階段関数の定義において、n = 1, A1 = R として得られる。
  • ヘヴィサイドの階段関数は、しばしば応用に用いられる重要な階段関数である。n = 3, A1 = (-∞ 0), A2 = [0, 0], A3 = (0, ∞) として得られる。
  • 矩形関数は、R を5つの区間に分けて得られる階段関数である。

性質[編集]

階段関数のとる値は、有限個の可能性しかない。階段関数の定義において、区間 Ai たちを互いに素な R分割にとっておけば、Ai の任意の x に対して f(x) = αi となる。

階段関数

f(x)=\sum_{i=1}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x)

ルベーグ積分は、区間 Ai長さ L (Ai) が全て有限である場合、

\int_\mathbb{R} f dx=\sum_{i=1}^n \alpha_i L(A_i)

で与えられる。

2つの階段関数の和や積もまた階段関数である。この演算により、階段関数全体の集合は R 上の代数を成す。

関連項目[編集]