緯度

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』
移動: 案内検索
メルカトル図法による世界地図。横の線が緯線

緯度(いど、latitude,Breite(ドイツ語))とは、経緯度(=経度・緯度。すなわち天体表面上の位置を示す座標)の一つである。以下特に断らない限り、地球の緯度について述べる。余緯度とは緯度の余角。

概要[編集]

緯度は、その地点における天頂の方向と赤道面とのなす角度で表される。赤道が緯度0となり北を北緯、南を南緯と言い北極南極が90度となる。また北緯に+(プラス)、南緯に-(マイナス)を付けて表す場合もある。1度よりも細かい緯度は、1度=60=3600と分割して表現する(0.1度は6分となる)。

同じ緯度の点を結んだ線を緯線と言う。「緯」とは織物の横糸の意味で、経緯線を織物に見立てたものである。メルカトル図法の地図では、緯線は赤道に平行な直線となる。経線を子午線というのに対し、子午線の対義語として(東)と(西)とを結ぶ線を卯酉線(ぼうゆうせん)と言うが、緯線とは異なる概念を指す。

太陽は地上から見て赤道直上を中心に南北に往復しているがその範囲は緯度23度27分までであり、この緯線を回帰線北回帰線南回帰線)と言う。また、緯度が66度33分よりも高い地域を極圏北極圏南極圏)と言う。

1海里は緯度1分の地球表面上の距離を元に作られており、ほぼそれに等しい。

緯度の種類[編集]

地球は完全なではなく回転楕円体扁球)で近似する(しかし実際にはそれからもわずかにずれている)。そのため、完全な球であれば同義である[1]以下の定義にも差異が生じる。

地理緯度 (geographic latitude)[編集]

地球を回転楕円体で近似したときに、その地点における楕円体面の法線と赤道面とがなす角度。通常「緯度」といえばこの意味で用いる。以下では、地理緯度を \varphi\,\!地球楕円体長半径、第三扁平率及び第一離心率をそれぞれ a\,\!n\,\! 及び e\,\! とする。

地心緯度 (geocentric latitude)[編集]

地心緯度ψの定義

その地点と地球の重心を結ぶ線と赤道面とがなす角度。地心緯度 \psi\,\! は、地理緯度 \varphi\,\! と以下のような関係にある:

\begin{align}
\psi(\varphi)&=\tan^{-1}\left((1-e^2)\tan\varphi\right)\\
&=\tan^{-1}\left[\left(\frac{1-n}{1+n}\right)^2\tan\varphi\right]
\end{align}

同地点における地理緯度と地心緯度との差は、当該地理緯度を用いて以下のように表される。

\begin{align}
\varphi-\psi&=\tan^{-1}\left(\frac{e^2\sin\varphi\cos\varphi}{1-e^2\sin^{2}\varphi}\right)\\
&=\tan^{-1}\left(\frac{2n\sin2\varphi}{1+2n\cos2\varphi+n^2}\right)
\end{align}

上式から分かるように、地理緯度とは最大で1133程度(緯度45付近)の差がある。

更成緯度 (reduced latitude)[編集]

更成緯度βの定義

図のように、中心が地球楕円体の中心と一致し、半径が地球楕円体の長半径に等しい球を考えたとき、地球楕円体上の位置を当該球に地球の自転軸と平行に射影した位置が示す緯度として定義される。更成緯度 \beta\,\! は、地理緯度 \varphi\,\! と以下のような関係にある:

\begin{align}
\beta(\varphi)&=\tan^{-1}\left(\sqrt{1-e^2}\tan\varphi\right)\\
&=\tan^{-1}\left(\frac{1-n}{1+n}\tan\varphi\right)
\end{align}

なお、更成緯度は“パラメトリック緯度”(parametric latitude) とも称される。これは、右図において点 P(p,z) の座標値を \beta\,\!媒介変数として

p=a\cos\beta,\quad z=b\sin\beta

と表すことができることから、アーサー・ケイリーが提唱[2]したことによる。

正積緯度 (authalic latitude)[編集]

球への等積写像を与える緯度として定義される。正積緯度 \xi\,\! は、地理緯度 \varphi\,\! と以下のような関係にある:

\xi(\varphi)=\sin^{-1}\left(\frac{s(\varphi)}{s(\pi/2)}\right)

ただし、s(\varphi)\,\! は赤道から地理緯度 \varphi\,\! までの緯度帯面積を表し、地理緯度 \theta\,\! における地球楕円体の子午線曲率半径及び卯酉線曲率半径をそれぞれ M_\theta\,\! 及び N_\theta\,\! とするとき、

\begin{align}
s(\varphi)&=2\pi\int_0^\varphi M_\theta N_\theta\cos\theta{\rm d}\theta\\
&=\pi a^2\left(\frac{1}{e}-e\right)\left(\frac{e\sin\varphi}{1-e^2\sin^2 \varphi}+\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)
\end{align}

で与えられる[3]

修正緯度 (rectifying latitude)[編集]

赤道から地理緯度までの子午線弧長で換算される緯度で、修正緯度 \mu\,\! は、地理緯度 \varphi\,\! と以下のような関係にある:

\mu(\varphi)=\frac{\pi}{2}\frac{m(\varphi)}{m(\pi/2)}

ただし、m(\varphi)\,\! は赤道から地理緯度 \varphi\,\! までの子午線弧長を表し、

m(\varphi)=\int_0^\varphi M_\theta{\rm d}\theta

で与えられる。

\mu\,\!\varphi\,\! についてよりあらわに書き下せば、次のように表すことができる[4]

\mu(\varphi)=\varphi\,+\,\frac{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\left\{\prod_{k=1}^j\left(\frac{n}{2k}+n\right)\right\}^2\sum_{l=1}^{2j}\frac{\sin 2l\varphi}{l}\prod_{m=1}^l\left(\frac{-n}{2j+2\cdot(-1)^m\lfloor m/2\rfloor}-n\right)^{(-1)^m}}{\displaystyle\sum_{j=0}^\infty\left\{\prod_{k=1}^j\left(\frac{n}{2k}+n\right)\right\}^2}

等長緯度 (isometric latitude)[編集]

地球楕円体上のいかなる位置においても経線方向と緯線方向の微小距離が等しくなるように換算された緯度で、等長緯度 q\,\! は、地理緯度 \varphi\,\! と以下のような関係にある:

q(\varphi)=\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)

ただし、\operatorname{gd}(x)グーデルマン関数であり、\operatorname{gd}^{-1}(x) はその逆関数を表す。

等長緯度はメルカトル図法において重要な役割を果たす量であり、地球楕円体上の \varphi= 一定 の平行圏(緯線)は、投影面において q= 一定 の直線として写像されることになる。

正角緯度 (conformal latitude)[編集]

球への等角写像を与える緯度として定義される。正角緯度 \chi\,\! は、地理緯度 \varphi\,\! と以下のような関係にある:

\chi(\varphi)=\operatorname{gd}\left(q(\varphi)\right)=\operatorname{gd}\left(\operatorname{gd}^{-1}(\varphi)-e\tanh^{-1}(e\sin\varphi)\right)

天文緯度 (astronomical latitude)[編集]

その地点の重力に基づく「真上」(すなわち鉛直方向)と赤道面がなす角度。主に子午環による天文観測で「真上」の赤緯を測定して求めるため、「天文」の名が付く。重力は重力ポテンシャル面(すなわちジオイド面)の法線方向であるから、ジオイド面が地球楕円体面と完全に一致すれば地理緯度と一致する。しかし実際は地下構造の影響を受けて複雑に歪んでいるため、地理緯度とは数秒程度の差がある(鉛直線偏差)。

これに加え、赤道面の変化、すなわち自転軸の変化が存在する(極運動)。これは428日周期を持っているので、天文緯度は常に周期的に変化している。ただし数年幅の短期的な変化は0.5秒以下である。それ以上の長期的な変化も存在し、地球全体の質量分布の変化が原因と考えられるが、現時点では長期的な予測は困難である。

測地学的緯度 (geodetic latitude)[編集]

「測地学的緯度」を地理緯度と同じ意味で、もしくは地球楕円体面上の問題であることを強調するために用いることがあるが、ここでは地理緯度と分けて用語を設定し説明する。

大雑把に言えば「地図から読み取った緯度」と定義できる。その時点での測量技術に基づきもっとも正確に求められる「緯度」であるが、あくまでその時点の技術水準に依存する。20世紀中においては、測地系と地球楕円体を決定した上で、地上測量を基に決定した緯度である。その地点の重力の歪みの影響は直接受けないものの、測地系決定のために行った測量のずれ(日本で言えば東京での重力の歪み)や地球楕円体のずれの影響を受ける。GPSVLBIもない20世紀初頭には、地球重心の位置や重力の歪みを正確に測定する方法がなく、測地学的緯度をもって地理緯度とみなすことが多かった[5]

緯度1秒の長さ[編集]

地球の子午線周長は約40 008kmである。すなわち、平均的には

  • 緯度1度の長さ 約111 km
  • 緯度1分の長さ 約1.85 km
  • 緯度1秒の長さ 約30.9 m

と求められるが、実際には地球は回転楕円体に近い形をしているため、緯度によって僅かながら緯度1秒の長さに違いがある。ちなみに、海里は元来、緯度1分の長さであるが、より正確には緯度45度における緯度1分の子午線弧長が海里のもともとの定義になっていた(30.870m/秒 * 60秒 = 1852.2 m/分)。

緯度1秒の長さ l\,\! は着目している地点の地理緯度 \varphi\,\! に依存し、地球楕円体赤道半径長半径)を a\,\!離心率e\,\! とすると、近似的に

l\simeq\frac{\pi M_{\varphi}}{648000}=\frac{\pi}{648000}\cdot\frac{a(1-e^2)}{(1-e^2\sin^2\varphi)^{3/2}}

と表される[3]。 地球楕円体としてGRS 80を採用した場合、a = (正確に)6 378 137m、\, e^2 = 0.006 694 380 022 900 788(近似値)である。GRS 80地球楕円体表面上の代表的な地点及び日本周辺の緯度における値は次のとおりである。

緯度 緯度1秒の長さ
0度(赤道) 30.715 m
15度 30.736 m
25度 30.770 m
30度 30.792 m
35度 30.817 m
35度39分29秒1572(日本経緯度原点 30.820 188 m
40度 30.843 m
45度 30.870 m
50度 30.897 m
60度 30.948 m
75度 31.005 m
90度(極点) 31.026 m

各緯度の主要な都市[編集]

注:緯度の値は概略値

関連項目[編集]

脚注・参考文献[編集]

  1. ^ 等長緯度に関しては地球を真球とみなしたとしても、そもそも地理緯度と異なる概念である。
  2. ^ Cayley, A. (1870): On the geodesic lines on an oblate spheroid, Philosophical Magazine, 40 (4th Series), 329-340.
  3. ^ a b 例えば、理科年表地学部 地3 地球楕円体に関する計算式
  4. ^ Kawase, K. (2011): A General Formula for Calculating Meridian Arc Length and its Application to Coordinate Conversion in the Gauss-Krüger Projection, Bulletin of the Geospatial Information Authority of Japan, 59, 1–13
  5. ^ 日露戦争後のポーツマス条約により「北緯50度以南の樺太を日本に割譲する」ことが決まったが、「北緯50度とは天文緯度である」と定められ、現地測量により国境線を画定した。しかし日本測地系による東京からの測量を伸ばしていくと、確定した国境線が日本測地系での北緯50度より200mほど南となり、一部で問題視された。(旧樺太の日露国境画定)2002年に日本が採用した世界測地系による北緯50度は、天文測量で確定したものに近い。しかし当時としては、どの測地系が適切なのか知る方法がない一方、各国の測地系間のずれも認識され始めた中、さらに天文緯度と測地学的緯度の混同もあった。